数据结构与算法分析-第1章

Posted 2021-01-19 devinkin

数据结构与算法分析-第1章

Table of Contents

• 1. 第1章-引论
  • 1.1. 数学知识复习
    • 1.1.1. 指数
    • 1.1.2. 对数
    • 1.1.3. 级数
    • 1.1.4. 模运算
    • 1.1.5. 证明方法
  • 1.2. 递归简论
• 2. 练习题
  • 2.1. 1.5 证明下列公式:

1 第1章-引论

1.1 数学知识复习

1.1.1 指数

• (X^AX^B=X^{A+B})
• (frac{X^A}{X^B}=X^{A-B})
• ((X^A)^B=X^{AB})
• (X^N+X^N=2X^N e x^{2n})
• (2^n+2^n=2^{n+1})

1.1.2 对数

• 在计算机科学中,除非有特别声明,所有的对数都是以2为底的.
• 定义: (x^a=b) ,当且仅当 (log_xb=a),得
  • (log_AB=frac{log_cB}{log_cA});(c>0)
  • (log{AB}=log{A}+log{B})
  • (logfrac{A}{B}=log{A} - log{B})
  • (log(A^B)=Blog{A})
  • (log{X}
  • (log1 = 0),(log2=1),(log1024=10),(log1048576=20).

1.1.3 级数

• (sum_{i=0}^N2^i=2^{N+1}-1),等比数列求和公式
• (sum_{i=0}^NA^i=frac{A^{N+1}-1}{A-1})
  • 如果 (0
• 分析中另一种常用类型的级数是算术级数.任何这样的级数都可以通过基本公式计算其值.
  • (sum_{i=1}^Ni=frac{N(N+1)}{2}approxfrac{N^2}{2})
• (sum_{i=1}^Ni^2=frac{N(N+1)(2N+1)}{6}approxfrac{N^3}{3})
• (sum_{i=1}^Ni^kapproxfrac{N^{k+1}}{|k+1|}), (k eq -1)
• 调和数: (H_N=sum_{i=1}^Nfrac{1}{i}approxlog_eN),其和叫做调和和.

1.1.4 模运算

• 如果N整除 (A-B), 那么我们就说A与B模N同余(congrument),记为 (Aequiv B(mod N)).
  • (81 equiv 61 equiv 1(mod 10))
• 如果(Aequiv B(mod N)), 则 (A+Cequiv B+C(mod N)) 以及(ADequiv BD(mod N))

1.1.5 证明方法

1. 归纳法进行证明有两个标准部分
   • 第一步是证明基准情形(base case),就是确定定理对于某个(某些)小的(通常是退化)值的正确性.
   • 第二步是进行归纳假设.一般来说假设定理对某个有限数k的所有情况都成立,则定理对下一个值(通常是k+1)也从成立.
2. 反证法证明: 假设定理不成立,然后证明该假设倒置某个已知的性质不成立,从而说明原假设是错误的.

1.2 递归简论

• 递归的两个基本法则
  • 基本情形(base case)
  • 不断推进(making process)
• 递归的四条基本原则
  • 基准情形
  • 不断推进
  • 设计法则: 假设所有的递归调用都能运行.
  • 合成效益法(compound interest rule),在求解一个问题的同一个实例时,切勿在不同的递归调用中做重复性的工作.

2 练习题

2.1 1.5 证明下列公式:

1. (log{X} < X) 对所有的 (X>0) 成立.

当 0<X ≤ 1 时, 因为X=1/2时, log1/2=-1<1. X=1时, log1=0<1. X为负数时, logX的值不存在.所以 0<X ≤ 1时, logX < X成立.
假设X=k时, logk < k 成立.
log(k+1) =

Date: 2018-11-10 22:30

Author: devinkin

Created: 2018-11-10 六 23:24

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