算法第3 章上机实践

Posted 2021-01-19 winnieapple

1.实践题目：

7-1 数字三角形 （30 分）

给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

输入格式:

输入有n+1行：

第 1 行是数字三角形的行数 n，1<=n<=100。

接下来 n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99 之间。

输出格式:

输出最大路径的值。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

5 
7 
3 8 
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5 

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

30

 

2.问题描述：

计算从数字三角形的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

3.算法描述

分析问题可知，从三角形顶端开始，有两种选择：向左走、向右走，而要经过路径的数字总和最大则取决于第二层所在两个元素分别组成的数字三角形，一层一层依次类推，因此可以列出递归式：

m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j+1])+a[i][j]

接着便可根据递归编程

程序为：

#include <iostream>
int n;
int a[1000][1000];
using namespace std;
int triangle( ){
int i,j;
for( i=n-1;i>=1;i--)
for( j=1;j<=i;j++){
if(a[i+1][j]>a[i+1][j+1])
a[i][j]+=a[i+1][j];
else
a[i][j]+=a[i+1][j+1];
}
return a[1][1];
}
int main() {
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
cin>>a[i][j];
cout<<triangle()<<endl;
return 0;
}

4.算法时间及空间复杂度分析：

 时间复杂度：程序中用了

for( i=n-1;i>=1;i--)

   for( j=1;j<=i;j++){ }

因此其时间复杂度为O（n^2)

算法空间复杂度： 由于开辟了新的辅助空间a1000]，所以为O（n^2）

5.心得体会

在这题中，虽然很快就有解题思想，但是编程的时候无法输入正确的结果，后来将i,j输出后得知i=0，j=2，忽略了for循环中i,j最终值，从而导致输出错误。

在这次实践中，加深了对动态规划算法的理解，更熟悉地使用动态规划算法来解问题。