数学相关总结

Posted 2021-01-18 little-aztl

质因数分解

inline void divide(int n){
    for(register int i=2;i*i<=n;++i){
        if(n%i==0){
            p[++len]=i;c[len]=0;
            while(n%i==0)n/=i,++c[len];
        }
    }
    if(n>1)p[++len]=n,c[len]=1;
}

线性筛质数

inline void find(void){
    memset(v,true,sizeof(v));v[1]=false;
    for(register int i=2;i<=n;++i){
        if(v[i]){primes[++priN]=i;}
        for(register int j=1;j<=priN;++j){
            if(i*primes[j]>n)break;
            v[i*primes[j]]=false;
            if(i%primes[j]==0)break;
        }
    }
}

N的正约数个数

((1+c_1) imes (1+c_2) imes ... imes (1+c_m))

N的正约数之和

((1+p_1+p_1^2+...+p_1^{c_1}) imes (1+p_2+p_2^2+...+p_2^{c_2}) imes ... imes (1+p_m+p_m^2+...+p_m^{c_m})).

更相减损术

(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)).

欧几里得算法

(gcd(a,b)=gcd(b,amod b)).

欧拉函数

(varphi (N)=N imes frac{p_1}{p_1-1} imes frac{p_2}{p_2-1} imes ... imes frac{p_m}{p_m-1}).

inline void get(void){//n log n 筛欧拉函数
    for(register int i=2;i<=n;++i)phi[i]=i;
    for(register int i=2;i<=n;++i){
        if(phi[i]==i){
            for(register int j=i;j<=n;++j){
                phi[j]=phi[j]*i/(i-1);
            }
        }
    }
}

扩展欧几里得算法

inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);
    return d;
}

ax+by=c方程通解

设(d=gcd(a,b))。

如果(d|c)，则方程有解，反之无解。

通解为(x=frac{c}{d} imes x_0+frac{b}{c} imes k). (y=frac{c}{d} imes y_0+frac{a}{c} imes k).

附：整数域上的三分（求最大值）

int l=-1e9,r=1e9;
while(r-l>10){
    int lmid=((l+r)>>1)-3,rmid=((l+r)>>1)+3;
    if(f(lmid)<f(rmid))l=lmid;
    else r=rmid;
}
int ans=-1e9;
for(register int i=l;i<=r;++i){
    ans=max(ans,f(i));
}

乘法逆元

即给定a，p，求一个整数x，使得(axequiv1(mod p))

1. 费马小定理（p是质数）

因为(a^{p-1}equiv1(mod p))

所以(a imes a^{p-2}equiv 1(mod p))

2. exgcd（a、p互质）

(a xequiv 1(mod p))

(Leftrightarrow ax=1+py)

(Leftrightarrow ax-py=1)

$Leftrightarrow $exgcd(a,p,x,y)

OK.

一个小误区

负数取模。

例如我们要计算(-10mod 3)，在数学界规定(-10mod 3=2)，即((-10)div 3=-4......2)，而在C++语言中(-10\% 3=-1)，所以我们为了求出正确答案，应该ans=(a%p+p)%p，这样算出来就是(2)了。

所以凡是有可能出现负数的情况，都要这样取模，或者直接：

inline int mod(int a,int p){
    return (a%p+p)%p;
}

直接调用即可。

扩展中国剩余定理

洛谷模板

其实想通了很简单。

假设我们已经求出了方程组前(k-1)个方程的解x，现在要求第(k)个方程的解。

记(m=lcm(m_1,m_2,...,m_{k-1}))，则(x+i imes m)同样是前(k-1)个方程的解。

再来看第(k)个方程，我们无非就是求一个整数(t)，使得(x+t imes mequiv b_k(mod m_k))。

搞清楚未知数是t，已知数是(x,m,b_k,m_k)。

这不就是exgcd？（线性同余方程）

求出新的解(x'=x+t imes m)，继续做即可。

组合数

符号：（从n个数中选m个）(C_m^n)

定义式：(C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!})。

递推式：(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m)。

性质：(C_n^m=C_{n}^{n-m})。

卡特兰数列：(Cat_n=frac{C_{2n}^n}{n+1})。

高斯消元法

洛谷模板

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath> 

#define LL long long
#define FILEIN(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define FILEOUT(s) freopen(s".out","w",stdout)
#define FILE(s) FILEIN(s);FILEOUT(s)
#define mem(s,v) memset(s,v,sizeof(s))

using namespace std;

template<class Type>
inline Type read(void){
    Type x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=105;

int n;double a[maxn][maxn],x[maxn];

#define eps 1e-7

inline bool gause(void){
    for(register int i=1;i<=n;++i){//枚举行 
        int k=i;
        for(register int j=i+1;j<=n;++j){//枚举行 
            if(fabs(a[k][i])<fabs(a[j][i]))k=j;
        }
        if(fabs(a[k][i])<eps)return false;
        for(register int j=i;j<=n+1;++j){//枚举列 
            swap(a[i][j],a[k][j]);
        }
        double Tmp=a[i][i];
        for(register int j=i;j<=n+1;++j){//枚举列 
            a[i][j]/=Tmp;
        }
        for(register int j=1;j<=n;++j){//枚举行 
            if(j==i)continue;
            double tmp=a[j][i];
            for(register int k=i;k<=n+1;++k){//枚举列 
                a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)x[i]=a[i][n+1];
    return true;
}

int main(){
    n=read<int>();
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        for(register int j=1;j<=n+1;++j){
            a[i][j]=read<int>();
        }
    }
    if(!gause()){
        puts("No Solution");return 0;
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)printf("%.2lf
",x[i]);
    return 0;
}