区块链教程区块链信息安全3椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理一

Posted 2021-01-18

区块链教程区块链信息安全3椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理一，2018年下半年，区块链行业正逐渐褪去发展之初的浮躁、回归理性，表面上看相关人才需求与身价似乎正在回落。但事实上，正是初期泡沫的渐退，让人们更多的关注点放在了区块链真正的技术之上。

椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现

椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。
相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。
据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。

椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

椭圆曲线

一般，椭圆曲线可以用如下二元三阶方程表示：
y2 = x3 + ax + b，其中a、b为系数。

如果满足条件4a3+27b2≠0，则可以基于E(a, b)定义一个群。

定义椭圆曲线的运算规则

椭圆曲线上的运算规则，由如下方式定义：

加法：过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。

二倍运算：上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。
因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

A + A = 2A = B

正负取反：将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。

无穷远点：如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。

综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。
即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。
此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

有限域上的椭圆曲线运算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。
但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。
按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为y2 = x3 + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：

y2 ≡ x3 + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点。
以点(1,7)为例，72 ≡ 13 + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：

(0,1) (0,22)
(1,7) (1,16)
(3,10) (3,13)
(4,0)
(5,4) (5,19)
(6,4) (6,19)
(7,11) (7,12)
(9,7) (9,16)
(11,3) (11,20)
等等。

另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。
如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

计算xG

相关公式如下：
有限域GF(p)上的椭圆曲线y2 = x3 + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：

• Xr = (λ2 - Xp - Xq) mod p
• Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p
• 其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp2 + a)/2Yp mod p（若P=Q）

因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y2 ≡ x3 + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：

计算2G：

• λ = (3x02 + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12
• Xr = (122 - 0 - 0) mod 23 = 6
• Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19
  即2G为点(6,19)

计算3G：
3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)

• λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3
• Xr = (32 - 0 - 6) mod 23 = 3
• Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13
  即3G为点(3, 13)

同理计算4G、5G...xG

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