01分数规划入门

Posted 2021-01-18 captain1

01分数规划，简单的来说，就是有一些二元组（s_i，p_i），从中选取一些二元组，使得∑s_i / ∑p_i最大（最小）。

这种题一类通用的解法就是，我们假设x = ∑s_i / ∑p_i的最大（小）值，那么就有x * ∑p_i = ∑s_i ,即∑s_i  - x * ∑p_i= 0。也就是说，当某一个值x满足上述式子的时候，它就是要求的值。我们可以想到枚举……不过再想想，这个可以二分答案。

所以我们直接二分答案，当上述式子>0,说明答案小了，<0则说明答案大了，这样计算即可。

这是一种解决问题的方法，具体应该怎么做我们要看题来分析。

01分数规划有这样几种基本的题型（当然还有很多别的……暂时不在juruo的考虑范围内）

1.01分数规划

2.最优比率生成树

3.最优比率生成环

（当然还有什么最优比率最小割等等……不在juruo当前研究范围之内）

1.01分数规划。

基础题：poj2976

这个就是一开始说的这么一码事……选取n-k（原题是不选k）个物品使得比率最大。

我们考虑对上面的式子进行转化，之后我们只要给每个物品重新赋值为a - x*b，排序之后直接取前n-k大,判断这个值的正负性，然后按上面情况二分即可。

如果不大明白为什么是这么取得的，可以看这里（个人觉得很详细）

附上代码。

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘
‘)

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 10005;
const int INF = 1000000009;
const double eps = 1e-6;

int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
    if(ch == ‘-‘) op = -1;
    ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
    ans *= 10;
    ans += ch - ‘0‘;
    ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}

struct test
{
   double a,b,d;
   bool operator < (const test &g) const
   {
      return d > g.d;
   }
}t[1005];

int n,k;
double L,R,ans,mid;

bool pd(double x)
{
   double cur = 0;
   rep(i,1,n) t[i].d = t[i].a - x * t[i].b;
   sort(t+1,t+1+n);
   rep(i,1,n-k) cur += t[i].d;
   return cur >= 0;
}

int main()
{
   while(1)
   {
      n = read(),k = read();
      if(!n && !k) break;
      rep(i,1,n) t[i].a = read();
      rep(i,1,n) t[i].b = read();
      L = 0,R = 1e10;
      while(fabs(R - L) > eps)
      {
     mid = (L + R) / 2.0;
     if(pd(mid)) L = mid;
     else R = mid;
      }
      printf("%.0lf
",(mid * 100.0));
   }
   return 0;
}

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2.最优比率生成树。

基础题：poj2728

简单描述就是，每一条路有一个花费p和一个权值s，要在图上选取一些边构成一棵生成树，求生成树的∑p_i / ∑s_i最小值。

我们还是考虑套用上面的模板，其实这个和01分数规划很像的。只要对每条边重新赋一个值，因为这次我们要求的是花费比上权值，所以和上一道题反了过来，赋值是p-x * s。之后因为要求最小，直接求最小生成树即可。判断一下最小生成树的权值和，如果小于0说明答案设大了，否则说明答案设小了。

这道题是完全图，所以我们需要用prim求最小生成树。（突然发现我从来都是用kruskal都没用过prim），但是它的想法其实很简单，我们从任意一个点开始，之后选取一个最近的点，并且用这个点更新其他点的距离，之后再寻找一个更近的点，再去更新距离。它的复杂度是O（n²）的。

看一下代码。

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘
‘)

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 1000005;
const int N = 1005;
const int INF = 1000000009;
const double eps = 1e-6;

int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
    if(ch == ‘-‘) op = -1;
    ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
    ans *= 10;
    ans += ch - ‘0‘;
    ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}

struct node
{
   double x,y,z;
}a[N];

int n;
double L,R,mid,dis[1005][1005],hb[1005][1005],map[1005][1005],cur[1005];
bool vis[1005];

double calc(int p,int q)
{
   return sqrt((a[p].x - a[q].x) * (a[p].x - a[q].x) + (a[p].y - a[q].y) * (a[p].y - a[q].y));
}

void init()
{
   rep(i,1,n) scanf("%lf %lf %lf",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
   rep(i,1,n)
   rep(j,i+1,n) dis[i][j] = dis[j][i] = calc(i,j),hb[i][j] = hb[j][i] = fabs(a[i].z - a[j].z);
}

double prim()
{
   double ans = 0;
   rep(i,1,n) vis[i] = 0,cur[i] = map[1][i];
   vis[1] = 1;
   rep(i,1,n-1)
   {
      double minn = INF;
      int pos = 0;
      rep(j,1,n) if(!vis[j] && minn > cur[j]) pos = j,minn = cur[j];
      if(minn == INF) break;
      vis[pos] = 1;
      ans += minn;
      rep(j,1,n) if(!vis[j]) cur[j] = min(cur[j],map[pos][j]);
   }
   return ans;
}

bool pd(double x)
{
   rep(i,1,n)
   rep(j,i+1,n) map[i][j] = map[j][i] = hb[i][j] - x * dis[i][j];
   return prim() < 0;
}

int main()
{
   while(1)
   {
      n = read();
      if(!n) break;
      init();
      L = 0,R = 1e7;
      while(fabs(R-L) > eps)
      {
     mid = (L+R) / 2.0;
     if(pd(mid)) R = mid;
     else L = mid;
      }
      printf("%.3lf
",L);
   }
   return 0;
}
/*
4
0 0 0
0 1 1
1 1 2
1 0 3
4
0 0 0
0 1 1
1 1 2
1 0 3
0

 */

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3.最优比率生成环。

基本的思想还是一样的，就是对式子进行一下变形。不过这里稍微有一些不同。

最大化的时候，假设最大值为r*，那么就有∑p_i / ∑s_i <= r*，变形之后就有∑s_{i *} r* - ∑pi >= 0.

最小化的时候，假设最小值为r*，那么就有∑p_i / ∑s_i >= r*，变形之后就有∑pi - ∑s_{i *} r* >= 0.

这个地方很容易给人搞懵……因为其实我们很容易在求值的时候只使用一种变形式子的方法，然后改变二分的方向，不过这样的话计算的结果会出错。

因为这里要判断的不大一样，如果求最大值的时候设小了，那么就会在原图中出现负环。我们把每条边按上述方法重新赋值，之后我们使用基于dfs的spfa去判负环，之后改变二分的值即可。

如果求最小值，也按上述方法赋值，重新计算即可。

例题：天路 观光奶牛

这两道题都是要求最大比率的环，直接按照上述方法求就可以了。

看一下代码。（观光奶牛）

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘
‘)

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 10005;
const int N = 7005;
const int INF = 1000000009;
const double eps = 1e-6;

int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
    if(ch == ‘-‘) op = -1;
    ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
    ans *= 10;
    ans += ch - ‘0‘;
    ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}

struct edge
{
   int to,next;
   double v,t;
}e[M];

int l,p,x,y,ecnt,head[N];
double f[N],z,L,R,mid,dis[N];
bool vis[N];

void add(int x,int y,double z,double a)
{
   e[++ecnt].to = y;
   e[ecnt].v = a;
   e[ecnt].t = z;
   e[ecnt].next = head[x];
   head[x] = ecnt;
}

bool pd(double x,int pos)
{
   vis[pos] = 1;
   for(int i = head[pos];i;i = e[i].next)
   {
      if(dis[e[i].to] > dis[pos] + e[i].t * x - e[i].v)
      {
     if(vis[e[i].to]) return 1;
     dis[e[i].to] = dis[pos] + e[i].t * x - e[i].v;
     if(pd(x,e[i].to)) return 1;
      }
   }
   vis[pos] = 0;
   return 0;
}

int main()
{
   l = read(),p = read();
   rep(i,1,l) scanf("%lf",&f[i]);
   rep(i,1,p) x = read(),y = read(),scanf("%lf",&z),add(x,y,z,f[y]);
   rep(i,1,l) add(0,i,0,0);
   L = 0,R = 1e7;
   while(fabs(R-L) > eps)
   {
      mid = (L+R) / 2.0;
      memset(dis,0x3f,sizeof(dis)),memset(vis,0,sizeof(vis)),dis[0] = 0;
      if(pd(mid,0)) L = mid;
      else R = mid;
   }
   printf("%.2lf
",L);
   return 0;
}

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之后还有一道题，01分数规划+树形背包！

传送门

其实这个题好像说难也不难，因为很好想到怎么做，就是01分数规划的常用套路+树形背包。

我们对于每个人重新进行赋值（其实好像大部分的题都可以用分子-分母*进行赋值……）之后直接跑树形背包，求一下跑出来的最大值，然后改变二分的大小。

这题严重卡常，首先你肯定要用dfs序的树背包，不过其实还是卡不过去，即使把二分上界改为4都不行……精度如果低的话还会wa掉，最后只好开了O2.

我们看一下代码。

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘
‘)

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 1000005;
const int N = 3005;
const int INF = 1000000009;
const double eps = 1e-6;

int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
    if(ch == ‘-‘) op = -1;
    ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
    ans *= 10;
    ans += ch - ‘0‘;
    ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}

struct edge
{
   int next,to;
}e[N<<1];

int k,n,head[N],ecnt,dfn[N],pos[N],idx,size[N],x;
double dp[N][N],s[N],p[N],L,R,mid,val[N];
bool vis[N][N];

void add(int x,int y)
{
   e[++ecnt].to = y;
   e[ecnt].next = head[x];
   head[x] = ecnt;
}

void dfs(int x)
{
   dfn[x] = ++idx,pos[idx] = x,size[x] = 1;
   for(int i = head[x];i;i = e[i].next)
   {
      dfs(e[i].to);
      size[x] += size[e[i].to];
   }
}

double DP()
{
   double maxn = -INF;
   memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
   vis[1][0] = 1,dp[1][0] = 0;
   rep(i,1,idx)
   {
      rep(j,0,min(i,k))
      {
     if(!vis[i][j]) continue;
     dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j+1],dp[i][j] + val[pos[i]]);
     dp[i+size[pos[i]]][j] = max(dp[i][j],dp[i+size[pos[i]]][j]);
     vis[i+1][j+1] = vis[i+size[pos[i]]][j] = 1;
      }
   }
   rep(i,1,idx+1) maxn = max(maxn,dp[i][k+1]);
   return maxn;
}

bool pd(double x)
{
   memset(vis,0,sizeof(vis));
   rep(i,1,idx) val[i] = p[i] - x * s[i];
   return DP() > -eps;
}

int main()
{
   k = read(),n = read();
   rep(i,1,n) scanf("%lf %lf",&s[i],&p[i]),x = read(),add(x,i);
   dfs(0);
   L = 0,R = 1e6;
   while(fabs(R-L) > eps)
   {
      mid = (L+R) / 2.0;
      if(pd(mid)) L = mid;
      else R = mid;
   }
   printf("%.3lf
",L);
   return 0;
}

View Code