HDU 4507 求指定范围内与7不沾边的所有数的平方和 （数位DP）

Posted 2021-01-18 shuaihui520

题意：
求区间[l,r]内所有与7无关的数的平方和（取模）
定义与7无关的数： 
                                     1.数字的数位上不能有7
                                     2.数字的数位和不能是7的倍数
                                     3.数字本身不能是7的倍数
分析：
状态的保存：
1.数位上不能有7: 只需枚举数位的数字的时候跳过7就好 if (i == 7) continue;
2.数位和不能是7的倍数: 那么开一维保存数位和除以7的余数
3.数字本身不能是7的倍数：再开一维保存数字除以7的余数
综上，dp[i][j][k]3个维度保存的数字属性分别是：
                           i : 当前处理的数位
                           j : 数位和%7 等于j
                           k: 数字本身%7等于k
对于具有上述属性的数，用dp保存它们的3个值:（用结构体）
                         cnt: 具有该属性的所有数字的个数
                         s :具有该属性的所有数字的和
                         ss:具有该属性的所有数字的平方和
为什么要保存这3个值？为了下面的计算
状态的转移：
关于状态转移，先简单的写这样一个式子：dp[i][j][k] = ∑dp[i-1][(j+dig)%7][(k*10+dig)%7]（这里的求和符号不指加法，是一个抽象的意义）

其中dig是枚举的正在处理的数位i上所有可能的数字（这个式子只能帮助理解状态是如何转移的但是却不表示具体的运算，dp是结构体当然不能直接运算）

上面的等式，我们称等式左边表示总状态，等式右边为其子状态，显然总状态是等于所有子状态的“总和”（我说的状态的总和并非指加法运算）

那么怎么通过子状态算出总状态呢？

具体的计算：

先说几句废话：

对于1234这个数，它的数位上的数是1,2,3,4，它的数位和是1+2+3+4，它自身的数值是 1*1000+2*100+3*10+4

如果我知道数字234是与7无关的数，在其前面加一个1，也是与7无关的数，我是怎样计算在其前面加一个1之后的数的平方和的呢

(1*1000)^2 + 2*(1*1000)*234 + 234^2  这里相当于（1000+234）^2

注意：在具体的状态转移中，我们是不知道234这个值，我们只知道有这么一个子状态

另外，这只是一个数的平方，我们要求的是所有满足的数的平方和，所以最后具体的算式如下：

设总状态为ans，它其中一个子状态为tmp,枚举正在处理的这一数位上的数字为 i ,数位 i 在整个数字中具体的数值是i*10^p

那么有： //这里自己手算写写就会懂了，注意这里都是+=，都是加上这位数后面的个数跟状态。

                 (1) ans.cnt += tmp.cnt

                 (2) ans.s += tmp.s + [ i*10^p ]*tmp.cnt    //之所以*数量，是因为后面有许多个符合条件的数，这一位可以跟后面所有符合条件的数搭配    

                 (3) ans.ss += tmp.ss + 2*(i*10^p)*tmp.s + [(i*10^p)^2]*tmp.cnt //这里的中间部分两倍那里，比较坑。。。

之所以变态是因为这个数太大了，不懂不懂就爆long long 所以哪里都要%Mod，少一个Mod就wa，另外这题比较新，返回的是结构体，判断记忆化的时候，也是用结构体里的变量实现的，通过构造函数初始化

 

总结题目是个好习惯： 完全没有想到原来是可以用结构体dfs    ， 而且考虑的也不全面 ，虽然之前的打法粗糙的想法是过了案例 ， 但仔细想想又不行 ， 还是太年轻了

/*
 * 　如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关——
　　1、整数中某一位是7；
　　2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍；
　　3、这个整数是7的整数倍；

求一个区间中与7无关的数的平方和
 */
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const long long MOD=1000000007LL;
struct Node
{
    long long cnt;//与7无关的数的个数
    long long sum;//与7无关的数的和
    long long sqsum;//平方和
}dp[20][10][10];//分别是处理的数位、数字和%7,数%7
int bit[20];
long long p[20];//p[i]=10^i

Node dfs(int pos,int pre1,int pre2,bool flag)
{
    if(pos==-1)
    {
        Node tmp;
        tmp.cnt=(pre1!=0 && pre2!=0);
        tmp.sum=tmp.sqsum=0;
        return tmp;
    }
    if(!flag && dp[pos][pre1][pre2].cnt!=-1)
        return dp[pos][pre1][pre2];
    int end=flag?bit[pos]:9;
    Node ans;
    Node tmp;
    ans.cnt=ans.sqsum=ans.sum=0;
    for(int i=0;i<=end;i++)
    {
        if(i==7)continue;
        tmp=dfs(pos-1,(pre1+i)%7,(pre2*10+i)%7,flag&&i==end);
        ans.cnt+=tmp.cnt;
        ans.cnt%=MOD;
        ans.sum+=(tmp.sum+ ((p[pos]*i)%MOD)*tmp.cnt%MOD )%MOD;
        ans.sum%=MOD;

        ans.sqsum+=(tmp.sqsum + ( (2*p[pos]*i)%MOD )*tmp.sum)%MOD;
        ans.sqsum%=MOD;
        ans.sqsum+=( (tmp.cnt*p[pos])%MOD*p[pos]%MOD*i*i%MOD );
        ans.sqsum%=MOD;
    }
    if(!flag)dp[pos][pre1][pre2]=ans;
    return ans;
}
long long calc(long long n)
{
    int pos=0;
    while(n)
    {
        bit[pos++]=n%10;
        n/=10;
    }
    return dfs(pos-1,0,0,1).sqsum;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int T;
    long long l,r;
    p[0]=1;
    for(int i=1;i<20;i++)
        p[i]=(p[i-1]*10)%MOD;
    for(int i=0;i<20;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            for(int k=0;k<10;k++)
                dp[i][j][k].cnt=-1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
        long long ans=calc(r);
        ans-=calc(l-1);
        ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
        printf("%I64d
",ans);
    }
    return 0;
}

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