抛硬币问题

Posted 2021-01-18 ccut-ry

每次抛掷硬币正面向上和反面向上的概率是相同的

 

问题 1 ：抛掷硬币 n 次，求连续 k 次正面向上的方案数有多少种 ？

　　

　　一个比较好想的点子是直接 2^n 枚举，在这其中寻找符合要求的有多少种，复杂度爆表...

　　在计算连续 k 次正面向上的方案数可能并不太好算，那么就转换成 用总的方案数减去仅有连续小于 k 次的方案数

　　dp[i] 表示 到第 i 个位置仅存在小于连续 k 次正面向上的方案数

　　1 . 当 i < k 时， dp[i] = dp[i-1]*2

　　2 . 当 i == k 时, dp[i] = 2^k-1;

　　3 . 当 i > k 时, dp[i] = dp[i-1]*2 - dp[i-k-1];

代码示例 ：

#define ll long long
const ll maxn = 1e6+5;
const ll mod = 1e9+7;

ll n, k;
ll dp[maxn];

void solve() {
    dp[0] = 1;
    ll res = 1;
    for(ll i = 1; i <= n; i++){
        if (i < k) dp[i] = dp[i-1]*2;
        else if (i == k) dp[i] = dp[i-1]*2-1;
        else dp[i] = dp[i-1]*2-dp[i-k-1];
        dp[i] %= mod;
        res *= 2; res %= mod;
    }
    ll ans = (res-dp[n]+mod)%mod;
    printf("%lld
", ans);
}

int main() { 
    while(~scanf("%lld%lld", &n, &k)){
        solve();
    }
    return 0;
}

 

问题  2 ：

如果用抛硬币来举例子，则为假设有一个硬币，抛出背面和正面的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现三次正面为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出三次正面向上游戏就结束了，不用继续抛。