神仙数据结构——FHQ_Treap

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了神仙数据结构——FHQ_Treap相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

$FHQ\_Treap$是平衡树的一种,它不仅支持几乎所有的平衡树的操作,而且实现特别简单,总共只有两个操作。这里来简单介绍一下。

基本操作

$FHQ\_Treap$和$Treap$一样是需要用随机值来维护树的形态的,但是$FHQ\_Treap$不需要旋转来调整形态,而且用$Split$和$Merge$来实现,也就是分离与合并,也就是这两种操作,完成了平衡树的所有操作。

分离(Split)

把一棵平衡树分离成两颗,从而方便插入和删除。分离有两种做法,一种是按权值分离,一种是按子树大小分离,根据情况选择。

权值分离版:

 

void split(int rt,int k,int &x,int &y)
{
    if( !rt ) x=y=0;
    else {
        if( val[rt]<=k ) x=rt, split(ch[rt][1],k,ch[rt][1],y);
        else y=rt, split(ch[rt][0],k,x,ch[rt][0]);
        pushup(rt);
    }
}

 

子树大小版:

 

void split(int rt,int k,int &x,int &y)
{
    if( !rt ) x=0, y=0;
    else {
        pushdown(rt);
        if( siz[ch[rt][0]]<k ) {
            x=rt, split(ch[rt][1],k-siz[ch[rt][0]]-1,ch[rt][1],y);
        } else {
            y=rt, split(ch[rt][0],k,x,ch[rt][0]);
        }
        pushup(rt);
    }
}

合并(merge)

合并操作与左偏树的合并类似,按照优先级合并,把优先级高的作为父节点。当然,合并的时候,函数中的两个参数$x,y$要按照顺序,$x$是权值较小的,$y$是权值较大的,因为合并的时候是按照随机值来确定优先级的。(当然在函数中交换也行,不过常数大些)

 

int merge(int x,int y)
{
    if( !x || !y ) return x+y;
    pushdown(x), pushdown(y);
    if( p[x]<p[y] ) {
        ch[x][1]=merge(ch[x][1],y); pushup(x);
        return x;
    } else {
        ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]); pushup(y);
        return y;
    }
}

 

平衡树的其他操作的实现

插入新节点(insert)

先把树按照新结点的权值分离,然后再把新结点当作一棵树与两个分离出来的树合并。

 

inline int neo(int v)
{
    val[++tot]=v;
    siz[tot]=1; p[tot]=rand();
    return tot;
}

inline void insert(int v)
{
    int x,y;
    split(root,v,x,y);
    root=merge(merge(x,neo(v)),y);
}

 

删除节点(delete)

按删除节点的权值$v$把树分离成小于$v$,等于$v$,大于$v$三段,然后去掉等于$v$的树的根节点(也就是直接合并根节点的左右子树),然后合并回来。

 

inline void delet(int v)
{
    int x,y,z;
    split(root,v,x,y);
    split(x,v-1,x,z);
    z=merge(ch[z][0],ch[z][1]);
    root=merge(x,merge(z,y));
}

 

查询权值为$k$的节点编号

按照权值分离然后输出左子树大小$+1$即可。

 

inline void kth(int k)
{
    int x,y;
    split(root,k-1,x,y);
    printf("%d
",siz[x]+1);
    root=merge(x,y);
}

 

查询$k$小值

和其他平衡树一样搜索递归。

 

int rank(int rt,int k)
{
    if( siz[ch[rt][0]]==k-1 ) return val[rt];
    if( siz[ch[rt][0]]>=k ) return rank(ch[rt][0],k);
    return rank(ch[rt][1],k-siz[ch[rt][0]]-1);
}

 

查询前驱后继

按权值分离然后查询分离出的子树的最大/最小值就行了。

 

inline void prev(int v)
{
    int x,y;
    split(root,v-1,x,y);
    printf("%d
",rank(x,siz[x]));
    root=merge(x,y);
}

inline void nex(int v)
{
    int x,y;
    split(root,v,x,y);
    printf("%d
",rank(y,1));
    root=merge(x,y);
}

 

 

完整模板

洛谷模板题

//It is made by HolseLee on 27th Sep 2018
//Luogu.org P3369
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+7;
int n,root,tot;
int val[N],ch[N][2],p[N],siz[N];

inline int read()
{
    char ch=getchar(); int num=0; bool flag=false;
    while( ch<0 || ch>9 ) {
        if( ch==- ) flag=true; ch=getchar();
    }
    while( ch>=0 && ch<=9 ) {
        num=num*10+ch-0; ch=getchar();
    }
    return flag ? -num : num;
}

inline void pushup(int rt)
{
    siz[rt]=siz[ch[rt][0]]+siz[ch[rt][1]]+1;
}

void split(int rt,int k,int &x,int &y)
{
    if( !rt ) x=y=0;
    else {
        if( val[rt]<=k ) x=rt, split(ch[rt][1],k,ch[rt][1],y);
        else y=rt, split(ch[rt][0],k,x,ch[rt][0]);
        pushup(rt);
    }
}

int merge(int x,int y)
{
    if( !x || !y ) return x+y;
    if( p[x]<p[y] ) {
        ch[x][1]=merge(ch[x][1],y); pushup(x);
        return x;
    } else {
        ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]); pushup(y);
        return y;
    }
}

inline int neo(int v)
{
    val[++tot]=v;
    siz[tot]=1; p[tot]=rand();
    return tot;
}

inline void insert(int v)
{
    int x,y;
    split(root,v,x,y);
    root=merge(merge(x,neo(v)),y);
}

inline void delet(int v)
{
    int x,y,z;
    split(root,v,x,y);
    split(x,v-1,x,z);
    z=merge(ch[z][0],ch[z][1]);
    root=merge(x,merge(z,y));
}

inline void kth(int k)
{
    int x,y;
    split(root,k-1,x,y);
    printf("%d
",siz[x]+1);
    root=merge(x,y);
}

int rank(int rt,int k)
{
    if( siz[ch[rt][0]]==k-1 ) return val[rt];
    if( siz[ch[rt][0]]>=k ) return rank(ch[rt][0],k);
    return rank(ch[rt][1],k-siz[ch[rt][0]]-1);
}

inline void prev(int v)
{
    int x,y;
    split(root,v-1,x,y);
    printf("%d
",rank(x,siz[x]));
    root=merge(x,y);
}

inline void nex(int v)
{
    int x,y;
    split(root,v,x,y);
    printf("%d
",rank(y,1));
    root=merge(x,y);
}

int main()
{
    srand(19260817);
    n=read(); int opt;
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        opt=read();
        if( opt==1 ) insert(read());
        else if( opt==2 ) delet(read());
        else if( opt==3 ) kth(read());
        else if( opt==4 ) printf("%d
",rank(root,read()));
        else if( opt==5 ) prev(read());
        else nex(read());
    }
    return 0;
}

 

以上是关于神仙数据结构——FHQ_Treap的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

「模板」 FHQ_Treap

「模板」 FHQ_Treap 区间翻转

浅谈fhq_treap

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