从线段树的可删减性谈树状数组

Posted 2021-01-18 bljfy

这可能是我最后一次更新博客了呢

# 前言

很久之前，我初学树状数组的时候感觉非常的复杂、神奇、晦涩难懂。。。

果然还是我太菜了。后来了解到线段树的可删减性，这两者就自然而然的联系在一起了。

 

# 线段树的可删减性

很显然，对于一些区间操作的问题，线段树有着绝对的优势，基本上只要是区间查询之类的问题，那线段树是没跑了。

但是如果我们要查询的是前缀和这样的东西的话，会不会感觉线段树中的一些东西是多余的呢？

这么说可能有些不好理解，画画图就好：

上图如果看不清楚，请在新标签页中打开。(蓝色为节点标号，红色是区间端点)

假设我们查询到位置 9 的前缀和，那么答案就等于 2 号节点和 6 号节点的和。

这两个节点有什么奇怪的性质？

显然它们都是左孩子啊，那是不是所有的前缀和都是仅由左孩子节点构成的呢。

再试一下，就会发现，都是这样的。如何证明？

从根节点开始，答案有以下两种情况。

• 在左孩子中。
• 整个左孩子就是答案。
• 整个左孩子加上右孩子的一部分。

先看第二种情况。。。那这根本没有悬念吧，只有左孩子。

那再看第一种情况，在左孩子中查找答案。那么答案还是分成上面的三种情况。

关键的就是来看第三种情况，那在右孩子中的答案就变成了 mid 到查询区间的右端点的和。

如果把左子树看做一个整体的话，只有变成了上面的差前缀和的问题。也就是说如果在右孩子中存在一部分答案的话，就会已知按照上面的三种情况划分下去，直到出现了第二种情况。

那第一种情况也是如此，已知分下去，问题要么直接变成第二种情况，要么先变成第三种情况再变成第二种情况。

而且观察我们的路径，会发现对答案有贡献的节点全部都是左端点。也就是说又断电时可以省略掉的。

如下图。

这就是线段树的可删减性。

 

# 再说树状数组

树状数组能解决的不正是前缀和的查询吗？那么我们再来看上面的图，删掉右孩子后，是不是变成了一个树状数组呢？

这就是两者之间的关系。