数论&数学

Posted 2021-01-18 akakw1

数论&数学

数论+数学从入门到放弃

（因为博主数论非常不好，如果写错了请及时提醒博主）

组合数学

数论里面非常常用的东西

组合数公式

• $dbinom{n}{m} = dfrac{n!}{m!(n-m)!}$
• $dbinom{n}{m} = dbinom{n}{n-m}$
• $dbinom{n}{m} = dbinom{n-1}{m} + dbinom{n-1}{m-1}$
• $dbinom{n}{m+1} = dbinom{n}{m} imes dfrac{n-m}{m+1}$

阶乘计算组合数取模

（注意模数为质数）

首先预处理阶乘

    jc[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        jc[i] = (jc[i - 1] * i) % mod;

然后预处理阶乘逆元

（power为带模的快速幂）

    inv[n] = power(jc[n], mod - 2);
    for(int i = n - 1; i >= 0; i --)
        inv[i] = (inv[i + 1] * (i + 1)) % mod;

卢卡斯定理

一般用来计算模数较小但数据范围很大的组合数

$dbinom{n}{m} equiv dbinom{nmod p}{mmod p} imes dbinom{n div p}{m div p} pmod{p}$

若出现n < m的情况，则答案为0

多重集

多重集是指包含重复元素的广义集合

多重集的排列数

设值为$a_i$的数有$n_i$个，$n = sum n_i$ ，那么该集合的全排列个数为

$dfrac{n!}{prod n_i!}$

Catalan数列

$Cat_n = dfrac{C^n_{2n}}{n + 1} = C^n_{2n} - C^{n - 1}_{2n}$

以下问题与Catalan数列相关

• n个0和n个1，排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数不少于1的个数的序列的数量为$Cat_n$
• n个左括号和n个右括号组成的合法括号序列的数量为$Cat_n$
• n个元素经过一个栈，形成的合法出栈序列数量为$Cat_n$
• n个节点构成的不同二叉树的数量为$Cat_n$
• 在平面直角坐标系上，每一步只能向上或右走，从(0,0)走到(n,n)并且除两个端点外不触碰到直线y = x的路线数量为$2Cat_{n-1}$

质数

质数的判定

使用试除法，用小于等于sqrt（x）的数试除 x 若能除尽，则 x 为合数

bool prime(int x) {
    if(x == 2)return 1;
    if(x % 2 == 0 || x == 1)return 0;
    for(int i = (int)sqrt(x) | 1; i >= 3; i -= 2)
        if(x % i == 0)return 0;
    return 1;
}

质数的筛选

//复杂度很低的筛法
for(int i = 2; i <= n; i ++)
    if(! w[i]) {
        p[ ++cnt] = i;
        for(int j = 2; j <= i; j ++)w[i * j] = 1;
    }

for(int i = 2; i <= n; i ++) {
    if(! w[i])p[ ++cnt] = i;
    for(int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= n; j ++) {
        w[i * p[j]] = 1;
        if(i % p[j] == 0)break;
    }
}

线性筛

（一般情况不需要使用）

从小到大累积质因子

//线性筛法
int v[MAXN], prime[MAXN];
void primes(int n) {
    memset(v, 0, sizeof(v));//最小质因子
    m = 0;//质数数量
    for(int i = 2; i <= n; i ++) {
        if(v[i] == 0)
            v[i] = i, prime[++ m] = i;
        //给当前的数i乘上一个质因子
        for(int j = 1; j <= m; j ++) {
            //i有比prime[j]更小的质因子就停止循环
            if(prime[j] > v[i] || prime[j] > n / i)break;
            //prime[j]是合数i*prime[j]的最小质因子
            v[i * prime[j]] = prime[j];
        }
}

同余

扩展欧几里得算法

求不定方程ax + by = gcd(a,b)的一组特解

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y) {
    b ? exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b) : d = a, x = 1, y = 0;
}

乘法逆元

若整数B满足$B equiv dfrac{1}{A} pmod{P}$ ，则称B为A在模P意义下的乘法逆元

逆元的求法

• 若P为质数，可用快速幂求出：$B = A^{P-2} mod P$
• 解线性同余方程：$P x + A y = 1$答案即为y的值
• 递推：$inv[i] = P - (P div i imes inv[P mod i]) mod P$