题解 P1018 乘积最大

Posted 2021-01-18 chicago

题目链接：P1018 乘积最大

题面

今年是国际数学联盟确定的“2000――世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1） 3*12=36

2） 31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

题意

在一个长度为 N 的数字字符串中加上 K 个乘号，使所得表达式值最大。

题解

前言： 洛谷数据加强了，用(long long)只有60分，我不讲高精度乘法，只讲如何解这道题。

1. 由题中"可将它分成K+1个部分"得出，这是区间划分类的题目。

2. 要求找出区间最大值，因为乘号放在任何一个位置都不一定是等效的结果，有子结构。

3. 要求最大值也就是间接性求最优子结构，子结构最优后的得出总体最优。符合无后效性。

题面题意分析后可以得出这是一道区间划分DP题。

1. 以加入的乘号数量作为划分阶段。

2. 用 (f[n][k]) 表示原数字前 n 位中加入 k 个乘号所得表达式的最大值。

3. 预处理出 (a[i][j]) 表示原数字第 i 位到第 j 位组成的数字。

4. (f[n][k] = max(f[i][k-1] * a[i+1][n],i∈[k,n)))

代码（无高精度）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long dp[45][45],num[45][45];
bool tong[45][45];
int n,k;
char ch[45];

inline void init()
{
    cin >> n >> k;
    cin >> ch;

    for(int i = 0;i < n;i++)
    {
        for(int j = 0;j < n;j++)
        {
            if(i <= j)
            {
                for(int k = i;k <= j;k++)
                {
                    num[i][j]*=10;
                    num[i][j]+=ch[k]-'0';
                }
            }
        }
    }
}

long long dfs(int n,int k)
{
    if(k == 0) return num[0][n-1];
    if(tong[n-1][k-1]) return dp[n-1][k-1];

    for(int i = k;i < n;i++)
        dp[n-1][k-1] = max(dp[n-1][k-1],dfs(i,k-1)*num[i][n-1]);

    tong[n-1][k-1] = true;

    return dp[n-1][k-1];
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    init();
    cout << dfs(n,k);
    getchar();getchar();getchar();
    return 0;
}

---

有不懂的可以加我qq：2832853025