[平面几何] 平面椭圆参数与一般式之间的转换

Posted 2021-01-18 lovebuzz

椭圆的一般式为：[A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0]

椭圆的参数为：长半轴 $a$  短半轴 $b$  椭圆中心 $(x_{0},y_{0})$  倾角为 $ heta$ (定义逆时针为正，长轴与x正方向的夹角)

 1.由参数转化为一般式：

推导过程可按照：

中心在原点，长轴与x轴重合式的曲线C[3x3 mat]，经过旋转矩阵Rot = F[ $ heta$ ], 平移矩阵Trans = G[ $(x_{0},y_{0})$ ],

后得到$C^{‘}=Trans^{T}*Rot^{T}*C*Rot*Trans$

即 $H({ heta},x_{0},y_{0},a,b)=A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F $

对应相等可以得到：

[A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0]

 

[A=cos^{2} { heta}/a^{2} + sin^{2} { heta}/b^{2}]

 

2.由一般式转化为参数式：