DTOJ 4030: 排列计数

Posted 2021-01-18 ssoiroor

【题目描述】

求有多少个$1$到$$\mathrm{n\$的排列满足恰有\$k\$对在排列中相邻的数满足前小于后，答案对2012取模。}$

$\mathrm{【输入】}$

$\mathrm{一行2个正整数\$n,k\$。}$

$\mathrm{【输出】}$

$\mathrm{输出一个整数表示答案。}$

$\mathrm{【样例输入】}$

$\mathrm{5 2}$

$\mathrm{【样例输出】}$

$\mathrm{66}$

$\mathrm{【数据范围】}$

$\mathrm{\$k<n<=1000\$}$

$\mathrm{分析：}$

$\mathrm{计数类问题，应该是个式子或者DP。}$

考虑$k$和$n$都不大考虑DP。$f[i][j]$表示$n=i$，$k=j$时的答案。

那么考虑怎么转移，考虑将$i$插入长度为$i-1$的排列中，对答案的影响。有$f[i][j]=f[i-1][j]*(j+1)+f[i-1][j-1]*(i-j)$

$f[i-1][j]*(j+1)$表示将$i$插入后满足要求的数对没有变多，因为$i$大于$i-1$排列中的任意一个，所以将$i$插入$j$个以满足的数对中的任意一个都不会使得满足条件的数对变多，又或者直接将$i$放在第一个。

$f[i-1][j-1]*(i-j)$表示将$i$插入后数对变多了，也是因为$i$大于$i-1$排列中的任意一个，所以只要不插入到$j-1$个已经满足的数对中即可，那么就会有$(i-2)-(j-1))$，加上最后一个位置就是$i-j$了。

初值为$f[i][0]=1$，可以用打表和DP式子来判断。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 1005
#define p 2012
using namespace std;
int n,k,f[N][N];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<i;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]*(j+1)%p+(f[i-1][j-1]*(i-j))%p)%p;
    printf("%d
",f[n][k]);
    return 0;
}

总结：

计数类问题，一般都是排列组合和DP。尤其是在数据范围不太大，DP状态可以表示时，要考虑DP。

其实也不能算是DP，更准确的说应该是递推，考虑从$i$到$i+1$的答案变化。