「Luogu4321」随机游走

Posted 2021-01-17 mangoyang

「Luogu4321」随机游走

题目描述
有一张 (n) 个点 (m) 条边的无向图，(Q) 组询问，每次询问给出一个出发点和一个点集 (S) ，求从出发点出发随机游走走遍这个点集的期望步数。

(1 leq n leq 18, 1 leq Q leq 10^5)

解题思路 :

听说是 ( ext{pkuwc2018d2t3}) 加强版？但是原题时限是1s，各种卡不进去感觉一定要写 ( ext{Min-Max}) 容斥，不过反正我今年听指导建议没报 ( ext{pkuwc}) ，结果 ( ext{thuwc}) 没 ( ext{py}) 上 。

丧心病狂的出题人肯定是要我们 (O(1)) 回答询问了，不过感觉暴力还是蛮好想的，网上以前看到有大佬说过期望要倒着推，然后状压一波就出来了。设 (f(S, u)) 表示当前已经走遍了点集 (S) 接下来走遍全图的期望。这样定义的好处在于终止状态方便表示，直接认为点集外的点已经走过就可以了，如果正着定义走遍点集 (S) 的期望的话，终止状态的计算就需要一堆集合再算上对应的概率了。于是显然有
[ f(S, u) = frac{1}{deg_u} sum_{edge(u, v)} f(S|v, v) + 1 ]
特别的 (f(S, i) = 0) 当 (S) 是全集 ({1..n}) 的时候。

这个式子的转移还有环诶，所以还要高斯消元来解，一眼看上去复杂度是 (O((n imes2^n)^3))，复杂度爆炸。

冷静分析一下，并不是所有的转移都会成环，当满足 (v otin S) 的时候，(S) 是 (S|v) 的真子集，只考虑这样的转移的话转移的形态是一个 ( ext{DAG}) ，更准确的说是一个分层图。

这启发我们可以来分层求解，把互不相交的环拆开来考虑，而不是一起高斯消元，不妨变换一下转移的式子。
[ f(S, u) = frac{1}{deg_u} sum_{edge(u, v), v otin S} f(S|v, v) + sum_{edge(u, v), v in S} f(S, v) + 1 ]
此时成环的转移只有后面那个式子，于是我们可以一层一层计算，对于每一个 (S) ，先将前面那个式子的贡献记录在矩阵里面，暴力消元后面那个式子这样每次消元的矩阵大小只有 (n^2) 级别，总复杂度优化到 (O(2^n imes n^3)。)

另外吐槽一下：我的高斯消元写法好像不加剪枝就被卡常数了，今天做了一天的题没有一道不被卡常，怕是联赛要被卡成暴力分。

/*program by mangoyang*/
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<bits/stdc++.h>
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &x){
    int ch = 0, f = 0; x = 0;
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;
    if(f) x = -x;
}

const int N = 25, mod = 998244353;
typedef int Matrix[N][N];
vector<int> g[N];
Matrix a; int Ans[(1<<20)+5][N], n, e;
inline void up(int &x, int y){ (x += y) %= mod; }
inline void del(int &x, int y){ x = (x + y >= 0) ? x + y : x + y + mod; }
inline int Pow(int a, int b){
    int ans = 1;
    for(; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
        if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mod;
    return ans;
}
inline void Gauss(Matrix &a){
    int tmp, f;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int r = i;
        for(int j = i + 1; j <= n; j++) if(a[j][i] > a[i][i]) r = j;
        for(int j = i; j <= n + 1; j++) swap(a[i][j], a[r][j]);
        if(!a[i][i]) continue;
        tmp = Pow(a[i][i], mod - 2);
        for(int j = i + 1; j <= n; j++){
            f = 1ll * a[j][i] * tmp % mod;
            for(int k = i; k <= n + 1; k++) 
                del(a[j][k], 1ll * -a[i][k] * f % mod);
        }
    }
    for(int i = n; i >= 1; i--){    
        for(int j = i + 1; j <= n; j++) 
            del(a[i][n+1], 1ll * -a[j][n+1] * a[i][j] % mod);
        a[i][n+1] = 1ll * a[i][n+1] * Pow(a[i][i], mod - 2) % mod;
    }       
}
int main(){
    read(n), read(e);
    for(int i = 1, x, y; i <= e; i++) 
        read(x), read(y), g[x].push_back(y), g[y].push_back(x);
    for(int i = 1; i <= n; i++) Ans[(1<<n)-1][i] = 0;
    for(int s = (1 << n) - 2; s; s--){
        for(int i = 1; i <= n + 1; i++)
            for(int j = 1; j <= n + 1; j++) a[i][j] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) if((1 << i - 1) & s){
            int tmp = Pow(g[i].size(), mod - 2);
            for(int j = 0; j < g[i].size(); j++){
                int v = g[i][j];
                if(!((1 << v - 1) & s)) up(a[i][n+1], Ans[s|(1<<v-1)][v]);
                else a[i][v] = (-tmp + mod) % mod; 
            }
            a[i][n+1] = 1ll * tmp * a[i][n+1] % mod;
            a[i][n+1] = (a[i][n+1] + 1) % mod, a[i][i] = 1;
        }
        Gauss(a);
        for(int i = 1; i <= n; i++) Ans[s][i] = a[i][n+1];
    }
    int q; read(q);
    while(q--){
        int num = 0, s, all = (1 << n) - 1; read(num);
        for(int i = 1, x; i <= num; i++) read(x), all ^= (1 << x - 1);
        read(s), all |= (1 << s - 1), printf("%d
", Ans[all][s]);
    }
    return 0;
}