[note]一类位运算求最值问题

Posted 2021-01-17 sdzwyq

[note]一类位运算求最值问题

给定一些数,让你从中选出两个数a,b,每次询问下列中的一个
1.a and b的最大值
2.a xor b的最大值
3.a or b的最大值
神仙们都是FWT,小蒟蒻只好orz
首先三种问题的思路都是从高位往低位贪心

• 对于xor,直接枚举每个数Trie树上贪心
• 对于and,如果可选集合中有大于等于两个数当前位为1,那么答案这一位也是1,并把这一位为0的数删去
• 对于or,先维护一个高维前缀和,枚举每一个数,如果某一位为0,我们就贪心的看能不能补上1,
  相当于询问是否存在某个数满足前面的要求并且这一位为1,
  如果这一位是1,显然我们在这位放0限制作用更小.

复杂度都是(nlog)值域
不过预处理高位前缀和似乎是(log)值域×值域

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int _=1e5+5;
int re(){
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*w;
}
int T,n,c,ans,tot;
int a[_],ch[2][_*20];
bool ban[_],vis[1<<21];
void solve_and(){
    memset(ban,0,sizeof(ban));
    for(int i=20;~i;i--){
        int cnt=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!ban[j]&&a[j]>>i&1)cnt++;
        if(cnt<2)continue;ans|=1<<i;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(a[j]>>i&1^1)ban[j]=1;
    }
}
void insert(int x){
    int u=0;
    for(int i=20;~i;i--){
        int k=x>>i&1;
        if(!ch[k][u])ch[k][u]=++tot;
        u=ch[k][u];
    }
}
int query(int x){
    int res=0,u=0;
    for(int i=20;~i;i--){
        int k=x>>i&1^1;
        if(!ch[k][u])u=ch[k^1][u];
        else u=ch[k][u],res|=1<<i;
    }
    return res;
}
void solve_xor(){
    tot=0;
    memset(ch,0,sizeof(ch));
    for(int i=1;i<=n;i++)insert(a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,query(a[i]));
}
void solve_or(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)vis[a[i]]=1;
    for(int i=1<<20;~i;i--)
        for(int j=0;j<=20;j++)
            if(vis[i]&&i>>j&1)vis[i^(1<<j)]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int res=0,sum=0;
        for(int j=20;~j;j--){
            sum|=1<<j;
            if(a[i]>>j&1)continue;
            if(vis[res|(1<<j)])res|=1<<j;
            else sum^=1<<j;
        }
        ans=max(ans,sum);
    }
}
int main(){
    freopen("maximum.in","r",stdin);
    freopen("maximum.out","w",stdout);
    T=re();
    while(T--){
        n=re(),c=re();ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=re();
        if(c==1)solve_and();
        if(c==2)solve_xor();
        if(c==3)solve_or();
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}