数据结构——第四章图：01图相关定义

Posted 2021-01-17 hou36

1.图的定义：图是一种网状数据结构，形式化定义如下：图Graph = (V, R)，V = {x | x ∈ DataObject}，R = {VR}，VR = {<x, y> | P(x, y) ∧ (x, y ∈ V)}。集合DataObject中的所有元素具有相同的特性。V中的数据元素通常为顶点(vertex)，VR是两个顶点之间关系的集合，P(x, y)表示x和y之间有特定的关系属性P。

（1）若<x, y> ∈ VR，则<x, y>表示从顶点x到顶点y的一条弧(arc)，并称x为弧尾(tail)或起始点，称y为弧头(head)或终端点，此时图中的边是有方向的，称这样的图为有向图。

（2）若<x, y> ∈ VR，且有<y, x> ∈ VR，即VR是对称关系，这时以无序对(x, y)来代替两个有序对，表示x和y之间的一条边(edge)，此时的图称为无向图。如下图，左图为无向图，右图为有向图：

          

ADT Graph

{

　　数据对象V：V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。

　　数据关系R：R = {VR}，VR = {<x, y> | P(x, y) ∧ (x, y ∈ V)}

　　基本操作P：

　　①CreateGraph(&G, V, VR)

　　   初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。

　　   操作结果：按V和VR的定义构造图G。

　　②DestroyGraph(&G)

　　   初始条件：图G存在。

　　   操作结果：销毁图G。

　　③LocateVex(G, u)

　　   初始条件：图G存在，u和G中顶点有相同特征。

　　   操作结果：若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中位置；否则返回其它信息。

　　④GetVex(G, v)

　　   初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。

　　   操作结果：返回v的值。

　　⑤PutVex(&G, v, value)

　　   初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。

　　   操作结果：对v赋值value。

　　⑥InsertVex(&G, v)

　　   初始条件：图G存在，v和图中顶点有相同特征。

　　   操作结果：在图G中添加新顶点v。

　　⑦DeleteVex(&G, v)

　　   初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。

　　   操作结果：删除G中顶点v及其相关的弧。

　　⑧InsertAcr(&G, v, w)

　　   初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。

　　   操作结果：在G中增添弧<v, w>，若G是无向的，则还增添对称弧<w, v>。

　　⑨DeleteArc(&G, v, w)

　　   初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。

　　   操纵结果：在G中删除弧<v, w>，若G是无向的，则还删除对称弧<w, v>。

　　⑩DFSTraverse(G, visit())

　　   初始条件：图G存在，v是G中某个顶点，visit是顶点的应用函数。

　　   操作结果：深度优先遍历图个G，并对每个顶点调用函数visit一次。一旦visit失败，则操作失败。

　　?BFSTraverse(G, visit())

　　   初始条件：图G存在，visit是顶点的应用函数。

　　   操作结果：广度优先遍历图G，并对每个顶点调用函数visit一次，一旦visit失败，则操作失败。

}

2.完全图：设n表示图中顶点个数，用e表示图中边或弧的数目，且不考虑图中每个顶点到其自身的边或弧。

（1）无向完全图：对于无向图而言，其边数e的取值范围是0~n(n-1)/2。称有n(n-1)/2条边（即图中每个顶点和其余n-1个顶点都有边相连）的无向图为无向完全图。

（2）有向完全图：对于有向图而言，其边数e的取值范围是0~n(n-1)。称有n(n-1)条弧（即图中每个顶点和其余n-1个顶点都有弧相连）的有向图为有向完全图。

3.稀疏图和稠密图：对于有很少条边的图（e < nlogn）称为稀疏图，反之称为稠密图。

4.子图：设图G = (V, {VR})和图G‘ = (V‘, {VR‘})，且V‘ ?V，VR‘ ? VR，则称G‘为G的子图。

5.邻接点：对于无向图G = (V, {E})，如果边(v, v‘) ∈ E，则称顶点v，v‘互为邻接点，即v，v‘相邻接。边(v, v‘)依附于顶点v和v‘，或者说边(v, v‘)与顶点v和v‘相关联。对于有向图G = (V, {A})，如果弧<v, v‘> ∈ A，则称顶点v邻接到顶点v‘，顶点v‘邻接自顶点v，或者说弧<v, v‘>与顶点v和v‘相关联。

6.度、入度和出度：对于无向图而言，顶点v的度是指和v相关联的边的数目，记作(v)。在有向图中，顶点v的度有出度和入度两部分，其中以顶点v为弧头的弧的数目称为该顶点的入度，记作ID(v)，以顶点v为弧尾的弧的数目称为该顶点的出度，记作OD(v)，则顶点v的度为TD(v) = ID(v) + OD(v)。

7.权与网：在一个图中，每条边上可以标上具有某种含义的数值，此数值称为该边的权，通常权为非负实数，可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费等信息。边上带有权的图称为带权图，也常称作网。

8.路径与回路：无向图G = (V, {E})中从顶点v到v‘的路径是一个顶点序列(v = v_i0, v_i1, v_i2, ... ,v_in = v‘)，其中（v_ij-1，v_ij） ∈ E，1 ≤ j ≤ n。如果图G是有向图，则路径也是有向的，顶点序列应满足<v_ij-1，v_ij> ∈ E，1 ≤ j ≤ n。路径的长度是指路径上经过的弧或边的数目。在一个路径中，若其第一个顶点和最后一个顶点是相同的，即v = v‘，则称该路径为回路或环。若表示路径的顶点序列中的顶点各不相同，则称这样的路径为简单路径。除了第一个和最后一个顶点外，其余各顶点均不重复出现的回路为简单回路。

9.连通图：在无向图G = (V, {E})中，若从v_i到v_j有路径相通，则称顶点v_i与v_j是连通的。如果对于图中的任意两个顶点v_i、v_j ∈ V，v_i，v_j都是连通的，则称该无向图G为连通图。在有向图G = (V, {A})中，若对于每对顶点v_i，v_j ∈ V且v_i ≠ v_j，从v_i到v_j和v_j到v_i都有路径，则称该有向图为强连通图。

10.连通分量：无向图中的极大连通子图称为该无向图的连通分量。任何连通图的连通分量只有一个，即其自身。非连通的无向图有多个连通分量。有向图的极大强连通子图称为G的强连通分量。强连通图只有一个强连通分量，即其自身。非强连通的有向图有多个强连通分量。

11.生成树：一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但是只有足以构成一棵树的n-1条边。如果在一棵生成树上添加一条边，必定构成一个环。如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图，如果多于n-1条边则一定有环。