欧拉定理p4861按钮

Posted 2021-01-17 -guz

Background

Ada被关在了一个房间里。

Description

房间的铁门上有一个按钮，还有一个显示屏显示着“1”。

旁边还有一行小字：“这是一个高精度M进制计算器，每按一次按钮，屏幕上的数便会乘以K。当个位数再次变为1时，门就开了。”

由于Ada急于出去，所以你要在1s之内求出她的最小按键次数。

Input

一行，两个整数M和K。

Output

一行一个数字，表示最小按键次数。

如果无论Ada按多少次都无法让门打开，输出"Let‘s go Blue Jays!"（不含引号）。

这题太水了吧 emmm(竟然是个紫题？？)

之前同桌出过这题,所以就切了@王小呆

很容易发现,我们需要求解的是这个东西(K^x equiv 1(mod m))

突然想到一个定理.--->欧拉定理：$a^{phi(p)} equiv 1 (mod?p) $

这个定理有解的情况是(gcd(a,p)=1)

因此判断无解就是(gcd(a,p)!=1)了.

但是这题没有设置判断无解的分数,差评。(别问我怎么知道的。qwq

然后我们求解(phi(p))即可。

[ phi(x)=x imes prod_{i=1}^{r} (1-frac{1}{p_i}) ]

其中(p_i)为质数

但这不一定是最小整数解,怎么办？

枚举(phi(p))的因子就好了啊.

这个具体证明有些麻烦,涉及到了缩系等一些乱七八糟我不会的东西

所以就不打算证明。我也不会证明

我们(O(sqrt n))的求出(phi(n))再(O(sqrt{phi(n)}))的枚举其因子就好了。

(O(sqrt n))求(phi(n))就不多说了,相信大家都会。其实是我懒

如果不会的话,可以去@王小呆里面找一找,应该会有。

还有,吐槽一下数据很水。

取模写成对(phi(n))取模,竟然有(90pts)。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define int long long 
#define R register

using namespace std;

inline void in(R int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}

int n,m,ans=2147483647666LL;

int gcd(R int x,R int y){return y==0 ? x:gcd(y,x%y);}

inline int phi(R int x)
{
    R int res=x;
    for(R int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1) res=res/x*(x-1);
    return res;
}

inline int ksm(R int x,R int y)
{
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%n)
        if(y&1)res=res*x%n;
    return res;
}
signed main()
{
    in(n),in(m);
    if(gcd(n,m)!=1)
    {
        puts("Let's go Blue Jays!");
        return 0;
    }
    R int tmp=phi(n);
    for(R int i=1;i*i<=tmp;i++)
    {
        if(tmp%i!=0)continue;
        if(ksm(m,i)%n==1)
        {
            ans=i;
            break;
        }
        if(ksm(m,tmp/i)%n==1)ans=min(ans,tmp/i);
    }
    printf("%lld",ans);
}