Noip前的大抱佛脚----根号对数算法

Posted 2021-01-17 xzyxzy

根号算法

分块

数列分块入门九题（hzwer）

• 入门题1,2,3,4,5,7

问题：给一段区间打上标记后单点查询

解法：主要是每块维护一些标记，计算答案等，此类分块较为简单

注意：块大小一般为(sqrt n)

复杂度：(O(nsqrt n))

• 入门题6

问题：每次朝数列中间插入一个元素，查询第k个元素是什么

解法：块大小超过一定值后暴力重构！采用链表实现

复杂度：(O(nsqrt n))

• 入门题8

问题：每次询问一个区间内为(c?)的元素个数，并把整个区间改为(c?)

解法：维护一个区间覆盖标记，如果块内没有标记就暴力修改

注意：复杂度分析要用到FlashHu的势能分析

势能（potential energy)是储存于一个系统内的能量，也可以释放或者转化为其他形式的能量。

把一个块搅乱，相当于给其增加(O(sqrt n))的势能，表示其再次被打上全局tag所需要的代价

每次操作最多把两个块搅乱，所以每次操作最多增加(O(2sqrt n))的势能，同时整理好一个块需要的代价是其势能，并能把其势能降为(O(1))

这样子最多搅乱(n)个块，增加(O(2nsqrt n))的势能，最多把他们所有的势能都变成(1)，复杂度为(O(4nsqrt n)=O(nsqrt n))

理解：增加势能需要相应代价，减少势能也需要相应代价，对应分析其最大势能即可得出复杂度

拓展：分析每次可以从栈中弹出多个元素的复杂度（还是(O(n))，其总势能最大为(O(n))）

• 入门题9

问题：在线维护区间最小众数

解法：离线就可以用莫队搞了

考虑分块，分块是一个很好的算法，维护每个数在数列中的前缀和是(O(n^2))的时空复杂度，但是给分个块就可以做到(O(nsqrt n))了

一段区间的众数一定属于：A.零散块内的数 B.整块内的众数，一共数量不超过(sqrt n)个

所以维护两个数组：(f[i][j])表示从第(i)块到第(j)块的众数，这个可以(O(sqrt nsqrt nsqrt n))的预处理出来；(g[i][j])表示离散化后的数字(i)在前(j)块中出现的次数，这个可以(O(n))赋值后(O(nsqrt n))统计前缀和而得到

之后便只需要：A.统计每个数在整块内的出现个数(O(1×sqrt n)) B.统计零散块中的数(O(sqrt n))

综上，复杂度为(O(nsqrt n))，完美通过此题/蒲公英

分块出过什么题

维护序列哈，支持一些在线的区间询问

• 区间tag单点查询、区间查询等等老掉牙的套路（但是考场上遇到维护序列的题这也是一种思想方式）

  ?

• 询问位置(\%p=k)的数的权值和，要求支持单点修改，(valle 1W,nle 15W)（哈希冲突）

对于(plesqrt n)，维护(s[p][k])表示答案，这个可以(O(nsqrt n))扫一遍得到答案

对于(p>sqrt n)，可以开(s[i][1k])表示第i块的桶，统计前缀和，然后暴力对(sqrt n)的桶扫一遍

综上，复杂度为(O(nsqrt n))

• 求区间逆序对数，不修改，(nle 5W)（Gty的妹子序列）

先预处理好(s[i][j])表示从第(i)块的开头到(j)位置这一段区间产生的逆序对数，(O(nsqrt n logn))

然后查询时剩下的左半截用主席树暴力查询，(O(nsqrt nlogn))

• 单点修改，求最短前缀使得前缀(gcd)与前缀(xor)的乘积恰好为(x)，(nle 10W)（公约数数列）

有一个奇妙的性质：一个数集的(gcd)在加入一个数后要么不变，要么至少(/2)。

对每一块维护一个gcd和、异或前缀和、Map(维护异或前缀和为x的位置)

然后修改就暴力重构该块(O(nsqrt nlogn))

查询就依次扫每一个块，如果这个块没有使得gcd减小，那么这个块内每一个位置的前缀gcd都相同，在Map中查找是否有符合条件的异或和即可；如果gcd减小了就暴力一个一个找，由于上面的性质暴力扫的块不会超过(logn)个。

总复杂度为(O(nsqrt nlogn))

• 无修改询问区间内数值(\%p=k)的元素个数，(nle 15W)（考试9.20T3）

若(plesqrt n)，对每块维护(s[i][p][k])表示答案，然后边角暴力统计，(O(nsqrt n))

若(p>sqrt n) ，对每块维护(s[i][j])表示桶，然后做一个前缀和暴力查询，(O(nsqrt n))

简直傻逼我做不出真是太菜了

莫队

树莫队

有两种方法，一种是把树划分成若干块，然后暴力去移动其中一个端点；另一种是把树的欧拉序抠出来（像括号序列，每个点出现两次），转化为序列问题后再用序列莫队的方法。我学习的是拓展性更强的后者。两者都要用(vis[i])表示i这个点选了没选，每次(update)就把(vis[x]^=1)

序列莫队

无修

对序列位置分块，每块大小为(sqrt n)，将询问离线，按照左端点所在块为第一关键字，右端点为第二关键字排序，每次暴力移动转移，复杂度(O(nsqrt n))

带修

块大小为(n^{frac{2}{3}})，按照左端点所在块为第一关键字，右端点所在块为第二关键字，操作时间为第三关键字排序（所有排序都是从小到大），复杂度(O(n^{frac{5}{3}}))

分治

序列分治

一般适用于：一组询问，对象是所有子区间的问题

把区间分治成为跨过中点的区间和左右分治

点分治

• 树上路径抠成序列后DP（有结合律），可以采用点分治实现（牛客Wannafly24C网址）

  实现方式：把询问挂链，分治的时候，把分治区域的(rt)都设置为分治中心，同时给不同子树标个不同的(Tag)（同一子树相同）。每到一个结点便扫一遍询问，当询问的另一个点也在同样的分治区域，并且(Tag)不同，便计算贡献。

  这样能够保证不重不漏地计算所有的贡献，复杂度为(O(nlogn*DP))，为点分治×DP的复杂度（询问只会被扫log次）

倍增

并查集倍增

[SCOI2016]萌萌哒 对区间的每个点一一对应连并查集