HDU5015233 Matrix

Posted 2021-01-17 nsd-email0820

题意

给出矩阵的第0行（233,2333,23333,...）和第0列a1,a2,...an（n<=10，m<=10^9），给出式子： A[i][j] = A[i-1][j] + A[i][j-1]，要求A[n][m]。

分析

推单位矩阵，先开始没想出来，于是看了题解，但是没有看懂，只有又自己推，然后发现就推出来了诶

不要把菜当做不思考的借口

第0列是告诉了的，忽略，从第1列开始看，第一列是

233   

a₁

a₂

a₃

a₄

...

a_n

观察到第二列是2333，会出现一个3，于是我们干脆在每一列后面补一个3方便递推

于是第一列和第二列分别是

233                                                              2333

a₁                                                                             2333+a₁

a₂                                                                             2333+a₁+a₂

a₃                                                                             2333+a₁+a₂+a₃

a₄                                                                             2333+a₁+a₂+a₃+a₄

...                                                                 ...

a_n                                                                             2333+a₁+a₂+...+a_n-1+a_n

3                                                                  3

想从第一列得到第二列，那需要乘什么呢？肯定是个n+2行n+2列的矩阵

直接推发现2333=233*10+3

于是第一行10 0 0 ...0 0 1

2333+a₁=233*10+3+a₁

于是第二行 10 1 0 ... 0 0 1

类推可得到单位矩阵

10 0 0 ...0 0 1

10 1 0 ...0 0 1

10 1 1 ...0 0 1

10 1 1 ...1 0 1

10 1 1 ...1 1 1

0 0 0 ... 0 0 1

将这个矩阵求m-1次方再与原来的第一列相乘，就可求出A[n][m]，第1列用第0列推出

或者是直接用第0列，求m次方

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 15
#define ll long long
#define mod 10000007
ll n,m,f;
ll one[N];
struct email
{
    ll x[N][N];
}a,ans;

inline void init()
{
    one[0]=23;one[n+1]=3;
    for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&one[i]);
    memset(a.x,0,sizeof(a.x));
    for(ll i=0;i<=n;i++)a.x[i][0]=10,a.x[i][n+1]=1;
    a.x[n+1][n+1]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=i;j++)
            a.x[i][j]=1;
}

inline email mul(email a,email b)
{
    email c;
    memset(c.x,0,sizeof(c.x));
    for(ll i=0;i<=n+1;i++)
        for(ll j=0;j<=n+1;j++)
            for(ll k=0;k<=n+1;k++)
                c.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j],c.x[i][j]%=mod;
    return c;
}

inline email ksm(email a,ll m)
{
    if(m==1)return a;
    email b=ksm(a,m/2);
    b=mul(b,b);
    if(m&1)b=mul(b,a);
    return b;
}

int main()
{
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)==2)
    {
        init();
        ans=ksm(a,m);f=0;
        for(ll i=0;i<=n+1;i++)
            f+=ans.x[n][i]*one[i],f%=mod;
        printf("%lld
",f);
    }
    return 0;
}