2018QBXT刷题游记

Posted 2021-01-17 erutsiom

【2018QBXT刷题游记】

Day1 TEST1

T3 difer

【问题描述】
在数学中， 对光滑函数求微分是一种常见的操作。 在实际应用中， 一些函数没有解析形式， 通常会从函数上取若干个点，用这些点来近似地表示这个函数。
现在有一个函数(f(x))，我们在函数上取 (n)个值 (f(1),f(2),…,f(n))。对函数 (f(x))取微分得到函数 (f’(x))。我们近似地认为 (f’(i)=f(i)-f(i-1))。
同理，对 (f’(x))求微分可以得到 (f’’(x))，我们近似地认为 (f’’(i)=f’(i)-f’(i-1))。（注意这里的 f’(i)和 f’(i-1)本身就是我们求的近似值）。
函数 (f’(x))被称为一阶微分， (f’’(x))被称为二阶微分。如果对函数 (f(x))连续做 (m)次微分操作，得到的函数被称为 (m) 阶微分。 特殊地， (f(x))可以被认为是自身的0阶微分。
用 (f[m](x))表示 (f(x))的 (m) 阶微分，我们认为对任意自然数 (m)，有 (f[m](0)=0)。
在计算近似值时，直接使用这条性质。

输入的是 (f(1),f(2),…,f(n))
令 (f[0](x)=f(x)， x=1,2,…,n)
令 (f[i](0)=0， i=0,1,…m)
令 (f[i](x)=f[i-1](x)-f[i-1](x-1)， x=1,2,…,n， i=1,2,…,m)
输出的是 (f[m](x) ， x=1,2,…,n)
【输入格式】
第一行两个数 (n, m)
第二行 n 个数 (f(1),f(2),…,f(n))
【输出格式】
输出 (n) 行， 第 (x) 行是 (f[m](x))。
结果对 (100007) 取模
【样例输入】
3 2
6 7 8
【样例输出】
6
100002
0
【数据规模和约定】
对于 30%的数据， (m<=1000)
对于 60%的数据，(m<=10^6)
对于 100%的数据， (n<=1000， m<=10^9， 0<=f(i)<100007)

【分析】

可以发现：
[f[m](i)=sum_{j=0}^i (-1)^j·C(m,j)·f[0](i-j) ]

需要注意的是，模数不是质数，所以不能用卢卡斯定理。

一开始以为是扩展卢卡斯，后来发现这题数据比较小，没必要这么麻烦。对分子和分母分解质因数即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 100007
#define MAXN 1007
#define ll long long
int n,m,fenzi[MAXN][MAXN],fenmu[MAXN][MAXN],shengyu[MAXN];
int f[MAXN];//初始 
int ans[MAXN]; 
int add(int x,int y){
    x+=y;
    if(x>=MOD)x-=MOD;
    return x;
}
int jian(int x,int y){
    x-=y;
    if(x<0)x+=MOD;
    return x;
}
int mul(int x,int y){
    ll ret=x;
    ret*=y;
    ret%=MOD;x=ret;
    return x;
}

int main(){
    freopen("difer.in","r",stdin);
    freopen("difer.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&f[i]);
    for(int i=1;i<=n&&i<=m;i++){//对分子质因数分解 
        fenzi[i][0]=m+1-i;
        for(int j=2;j<=n;j++){
            while(fenzi[i][0]%j==0){//保证分解出的一定是质数 
                fenzi[i][0]/=j;
                fenzi[i][j]++;
            }
        }
        fenzi[i][0]%=MOD;
    }
    for(int i=1;i<=n&&i<=m;i++){//对分母质因数分解 
        fenmu[i][0]=i;
        for(int j=2;j<=n;j++){
            while(fenmu[i][0]%j==0){
                fenmu[i][0]/=j;
                fenmu[i][j]++;
            }
        }
    }ans[0]=1;
    for(int i=1;i<=n&&i<=m;i++){
        ans[i]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)ans[i]=mul(ans[i],fenzi[j][0]);
        for(int j=2;j<=n;j++){
            shengyu[j]+=(fenzi[i][j]-fenmu[i][j]);
        }
        for(int j=2;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=shengyu[j];k++)ans[i]=mul(ans[i],j);
        }
        if(i&1)ans[i]=jian(0,ans[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int ret=0;
        for(int j=0;j<=i&&j<=m;j++)ret=add(ret,mul(f[i-j],ans[j]));
        printf("%d
",ret);
    }
    return 0;
}