P1445 [Violet]樱花

Posted 2021-01-17 lltyyc

传送门

看到题目就要开始愉快地推式子

原式 $frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac{1}{n!}$

        $ ightarrow frac{x+y}{xy}=frac{1}{n!} ightarrow (x+y)n!=xy ightarrow xy-(x+y)n!=0$

两边同时加上 $(n!)^2$ 得

        $xy-(x+y)n!+(n!)^2=(n!)^2 ightarrow (x-n!)(y-n!)=(n!)^2$

设$a=(x-n!),b=(y-n!)$，则原式化为 $ab=(n!)^2$

如果 a 确定了，那么 b 也确定了，那么 x,y 也都确定了

所以就变成了求 a 的取值方案数

设$z=(n!)^2$

运用唯一分解定理把$z$分解成几个质数的乘积

$z=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_n^{k_n}$

a可以在每个质数中取 0 到 k1 个作为质因子，那么每个质数有 $k_i+1$ 种取法

根据乘法原理，共有 $(k_1+1)(k_2+1)...(k_n+1)$ 种取法

所以答案就是这个

把阶乘分解就只要把 1 到 n 每个数都分解一遍，复杂度O(nlogn)

分解一个数的质因子都会吧..就不讲了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) { if(ch==‘-‘) f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=1e6+7,mo=1e9+7;
int n,cnt[N],ans=1;//cnt存 (n!)^2 的质因子数量
int pri[N],tot,p[N];//p存每个数最小的质因子
bool not_pri[N];
void pre()
{
    not_pri[1]=1; p[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!not_pri[i]) { pri[++tot]=i; p[i]=i; }
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            ll g=pri[j]*i; if(g>n) break;
            not_pri[g]=1; p[g]=pri[j];
            if(!(i%pri[j])) break;
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();
    pre();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int t=i;
        while(t!=1) cnt[p[t]]++,t/=p[t];//分解质因子
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++) ans=1ll*ans*(cnt[pri[i]]*2+1)%mo;//记得cnt要乘2加1
    printf("%d",ans);
    return 0;
}