周期信号的傅里叶级数表示

Posted 2021-01-17 seniusen

1. 线性时不变系统对复指数信号的响应

在研究 (LTI)（Linear and Time-invariant System）系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，但这些基本信号应该具有以下两个性质：

• 由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；
• (LTI) 系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表示式。

傅里叶分析的很多重要价值都来自于这一点，即连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的(e^{st}) 和离散时间的 (z^n)，其中 (s) 和 (z) 都是复数。

在研究 (LTI) 系统时，复指数信号的重要性在于这样一个事实，即一个 (LTI) 系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化，也就是说：

[连续时间：e^{st} o H(s)e^{st}]
[离散时间：z^{n} o H(z)z^{n}]
这里 (H(s)) 或 (H(z)) 是一个复振幅因子，一般来说是复变量 (s) 或 (z) 的函数。一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。

现考虑一个单位冲激响应为 (h(t)) 的连续时间 (LTI) 系统，对任意输入 (x(t))，可由卷积积分来确定输出，若令 (x(t)=e^{st})，则有

[ ag 1 y(t) = int_{-infty}^{+infty}h( au)x(t- au)d au = int_{-infty}^{+infty}h( au)e^{s(t- au)}d au = e^{st}int_{-infty}^{+infty}h( au)e^{-s au}d au]

假设 （1）式右边的积分收敛，于是系统对 (x(t)) 的响应就为
[ ag 2 y(t) = H(s) e^{st}]
式中 (H(s)) 是一个复常数，其值决定于 (s)，并且它与系统单位冲激响应的关系为
[ ag 3 H(s) =int_{-infty}^{+infty}h( au)e^{-s au}d au]

可以完全用并行的方式证明，复指数序列也是离散时间 (LTI) 系统的特征函数。这就是说单位脉冲响应为 (h[n]) 的 (LTI) 系统，其输入序列为
[ ag 4 x[n] = z^{n}]
式中 (z) 为某一复数，由卷积和可以确定系统的输出为
[ ag 5 y[n] = sum_{k=-infty}^{+infty}h[k]x[n-k] = sum_{k=-infty}^{+infty}h[k]z^{n-k} = z^nsum_{k=-infty}^{+infty}h[k]z^{-k}]
假设 （5）式右边的求和收敛，于是系统对 (x[n]) 的响应就为
[ ag 6 y[n] = H(z) z^{n}]
式中 (H(z)) 是一个复常数，为
[ ag 7 H[z] =sum_{k=-infty}^{+infty}h[k]z^{-k}]

针对更一般的情况，若一个连续时间 (LTI) 系统的输入表示成复指数的线性组合，即
[ ag 8 x(t) = sum_k a_k e^{s_kt}]
那么输出就一定是
[ ag 9 y(t) = sum_k a_kH(s_k) e^{s_kt}]

对于离散情况，完全类似，若一个离散时间 (LTI) 系统的输入表示成复指数的线性组合，即
[ ag {10} x[n] = sum_k a_k z_k^n]
那么输出就一定是
[ ag {11} y[n] = sum_k a_kH(z_k) z_k^n]

2. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

2.1. 成谐波关系的复指数信号的线性组合

周期复指数信号
[ ag{12}x(t) = e^{j omega_0 t}]
的基波频率为 (omega_0)，基波周期 (T=2pi / omega_0)。与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是
[ ag{13}phi_k(t) = e^{j komega_0 t}=e^{j k(2pi / T) t}, k=0, pm1, pm2,cdot cdot cdot]

这些信号中的每一个都有一个基波频率，它是 (omega_0) 的倍数。因此每个信号对周期 (T) 来说都是周期的。于是，一个由成谐波关系的复指数信号线性组合形成的信号
[ ag{14}x(t) = sum_{k=-infty}^{infty}a_ke^{j komega_0 t}=sum_{k=-infty}^{infty}a_ke^{j k(2pi / T) t}]
对周期 (T) 来说也是周期的。 在式（14）中，(k=0) 这一项是个常数，(k=+1) 和 (k=-1)这两项都有基波频率等于 (omega_0)，两者合在一起称之为基波分量或称一次谐波分量。(k=+2) 和 (k=-2) 这两项也是周期的，其频率是基波频率的两倍，称为二次谐波分量。一般来说，(k=+N) 和 (k=-N) 的分量称为第 (N) 次谐波分量。

一个周期信号表示成式（14）的形式，就称为傅里叶级数表示。

2.2. 连续时间周期傅里叶级数表示的确定

假设一个给定的周期信号能表示成式（14）的形式，这就需要一种办法来确定这些系数 (a_k)，将式（14）两边各乘以 (e^{-jnomega_0t})，可得
[ ag{15} x(t) e^{-jnomega_0t}= sum_{k=-infty}^{infty}a_ke^{j komega_0 t}e^{-jnomega_0t}]
将上式两边从 0 到 (T=2pi/ omega_0)对 (t) 积分，有
[ ag{16} int _0^Tx(t) e^{-jnomega_0t}dt= int _0^Tsum_{k=-infty}^{infty}a_ke^{j komega_0 t}e^{-jnomega_0t}dt]

这里 (T) 是 (x(t)) 的基波周期，以上就是在该周期内积分。将上式右边的积分和求和次序交换后得
[ ag{17} int _0^Tx(t) e^{-jnomega_0t}dt= sum_{k=-infty}^{infty}a_kint _0^Te^{j (k-n)omega_0 t}dt]
式（17）右边括号里的积分是很容易的，为此利用欧拉公式可得

[ ag{18} int _0^Te^{j (k-n)omega_0 t}dt=int _0^T cos(k-n)omega_0 tdt+jint _0^T sin(k-n)omega_0 tdt]

对于 (k ot= n)，(cos(k-n)omega_0 t) 和 (sin(k-n)omega_0 t)都是周期函数，其基波周期为 ((T/|k-n|))。现在做的积分是在 (T) 区间内进行，而 (T) 又一定是它们的基波周期 ((T/|k-n|)) 的整数倍。由于积分可以看做是被积函数在积分区间内所包括的面积，所以式（18） 右边的两个积分对于 (k ot= n) 来说，其值为 0；而对 (k= n)，式左边的被积函数是 1，所以其积分值为 (T) 。综合上述得到
[ ag{19}int _0^Te^{j (k-n)omega_0 t}dt= egin{cases} T, & ext k=n 0, & ext k ot=n end{cases}]
这样式（17）的右边就变成了 (Ta_n)，因此有

[ ag{20} a_n = frac{1}{T}int _0^Tx(t)e^{-j nomega_0 t}dt]

另外，在求式（18）时我们仅仅用到了积分是在一个 (T) 的时间间隔内进行，而该 (T) 又是 (cos(k-n)omega_0 t) 和 (sin(k-n)omega_0 t) 周期的整数倍。因此，如果是在任意 (T) 的间隔做积分，结果应该是相同的。也就是说，若以 (int _T) 表示在任意一个 (T) 间隔内的积分，则应该有

[ ag{21}int _Te^{j (k-n)omega_0 t}dt= egin{cases} T, & ext k=n 0, & ext k ot=n end{cases}]
因此
[ ag{22} a_n = frac{1}{T}int _Tx(t)e^{-j nomega_0 t}dt]

上述过程可归结下：如果 (x(t)) 能表示成一组成谐波关系的复指数信号的线性组合，那么傅里叶级数中系数就由式（22）所确定，这一对关系就定义为一个周期连续信号的傅里叶计数。
[oxed{x(t) = sum_{k=-infty}^{infty}a_ke^{j komega_0 t}=sum_{k=-infty}^{infty}a_ke^{j k(2pi / T) t} \ a_k = frac{1}{T}int _Tx(t)e^{-j komega_0 t}dt=frac{1}{T}int _Tx(t)e^{-j k(2pi/T) t}dt}]
第一个式子称为综合公式，第二个式子称为分析公式。系数 ({a_k}) 往往称为 (x(t)) 的傅里叶级数系数或频谱系数。

• 例 1
  
  
• 例 2
  
  
  

2.3. 傅里叶级数的收敛

对于任何周期信号，我们总是能利用式（22）求得一组傅里叶系数。然而，在某些情况下式（22）的积分可能不收敛，也就是说求得的某些系数可能是无穷大。再者，即使求得的全部系数都是有限值，当把这些系数代入式（14）时所得到的无限项级数也可能不收敛于原信号。

狄里赫利条件：

1. 在任何周期内，(x(t)) 必须绝对可积，即
   [ ag{23}int_T|x(t)|dt < infty]
   这一条件保证了每一系数 (a_k) 都是有限值，因为
   [ ag{24}|a_k| leqslant frac{1}{T}int_T|x(t)e^{jkomega_0t}|dt=frac{1}{T}int_T|x(t)|dt]
   不满足狄里赫利第一条件的周期信号可以举例如下：
   [ ag{25}x(t)=frac{1}{t}, 0<tleqslant1]
   

2. 在任意有限区间内，(x(t)) 具有有限个起伏变化，也就是说，在任何单个周期内，(x(t)) 的最大值和最小值的数目有限。

满足条件 1 而不满足条件 2 的一个函数是
[ ag{26}x(t)=sin(frac{2pi}{t}),0<tleqslant1]

1. 在 (x(t)) 的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数都是有限值。

不满足条件 3 的一个例子如下所示，这个信号的周期为 (T=8)，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度都是前一个阶梯的一半。

2.4. 傅里叶级数的性质

3. 离散时间周期信号的傅里叶级数表示

3.1. 成谐波关系的复指数信号的线性组合

周期复指数信号
[ ag{27}x[n] = e^{j (2 pi/N)n}]
基波频率为 (omega_0 = 2pi / N)，基波周期为 (N)。与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是
[ ag{28}phi_k[n] = e^{j komega_0 n}=e^{j k(2pi / N) n}, k=0, pm1, pm2,cdot cdot cdot]

这些信号中的每一个都有一个基波频率，它是 (2pi / N) 的倍数。由式（28）给出的信号集中只有 (N) 个信号是不相同的，这是由于离散时间复指数信号在频率上相差 (2pi / N) 的整数倍都是一样的缘故。因此有
[ ag{29}phi_k[n] = phi_{k+rN}[n] ]
这就是说，当 (k) 变化一个的 (N) 整数倍时，就得到一个完全一样的序列。现在我们希望利用序列 (phi_k[n]) 的线性组合来表示更一般的周期序列，这样一个线性组合就有如下形式
[ ag{30}x[n] = sum_{k}a_kphi_k[n]=sum_{k}a_ke^{j komega_0 n}=sum_{k}a_ke^{j k(2pi / N) n}]
因为序列 (phi_k[n]) 只有在 (k) 的 (N) 个相继值的区间是不同的，因此，式（30）的求和仅仅需要包括 (N) 项。为了指出这一点，特将求和限表示成 (k=<N>)，即
[ ag{31}x[n] = sum_{k=<N>}a_kphi_k[n]=sum_{k=<N>}a_ke^{j komega_0 n}=sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2pi / N) n}]
譬如说，(k) 即可以取 (k=0, 1, 2,cdot cdot cdot cdot cdot cdot, N-1)，也可以取 (k=3, 4, cdot cdot cdot cdot cdot cdot, N+2)，不管怎样取，式（31）右边的求和都是一样的。式（31）称为离散时间傅里叶级数，而系数 则称为傅里叶级数系数。

3.2. 离散时间周期傅里叶级数表示的确定

离散时间傅里叶级数对就为
[oxed{x[n] =sum_{k=<N>}a_ke^{j komega_0 n}=sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2pi / N) n} \ a_k = frac{1}{N}sum_{k=<N>}x[n]e^{-j komega_0 n}=frac{1}{T}sum_{k=<N>}x[n]e^{-j k(2pi/N) n}}]
和连续时间周期信号一样，第一个式子称为综合公式，第二个式子称为分析公式。系数 ({a_k}) 往往称为 (x[n]) 的频谱系数。

再回到式（31），我们看到若从 0 到 (N-1) 范围内取 (k)，则有
[ ag{32}x[n]=a_0phi_0[n]+a_1phi_1[n]+ cdot cdot cdot+a_{N-1}phi_{N-1}[n]]
相类似地，若从 1 到 (N) 范围内取 (k)，则有
[ ag{33} x[n]=a_1phi_1[n]+a_2phi_2[n]+ cdot cdot cdot+a_{N}phi_{N}[n]]
因为 $ phi_0[n] = phi_N[n]$，将式（32）和式（33）作一比较，就可以得出 (a_0 = a_{N})。类似地，若 (k) 取任何一组 (N) 个相连的整数，就一定有
[ ag{34} a_k = a_{k+N}]
这就是说，倘若我们考虑的 (k) 值多余 (N) 的话，那么 (a_k) 的值必定以 (N) 为周期，周期性重复。

• 例 1
  

3.3. 离散时间傅里叶级数的性质

获取更多精彩，请关注「seniusen」!