11.02B

Posted 2021-01-17 ullio

题目描述

9 个机器人，在 3 * 3 的方格里，一开始 9 个机器人分别站在 9 个格子上，每一步机器人可
以往临近的一个格子移动或留在原地（同一个格子可以有多个机器人停留），经过 n 步后有
多少种不同的走法，使得每个格子上都有 1 机器人停留。由于方法数量巨大，输出 Mod
10^9 + 7 的结果。

输入输出格式

输入格式

第一行包含一个整数 n。

输出格式

输出一行输出走法的数量 Mod 10^9 + 7

数据范围

对于 40%的数据，1 <= n<= 10；
对于 70%的数据，1 <= n <= 10^6；
对于 100%的数据，1 <= n <= 10^18。

样例

样例一输入:

1

样例一输出:

299

思路

1.40%数据

暴力
期望复杂度 $ Theta left( 玄学 ight) $

2.70%数据

考虑dp
dp[i][j][k] 表示走了i步,起点在j终点在k的方案数
dfs枚举全排列
期望复杂度 $ Theta left( 81n ight) $

3.100%数据

考虑优化dp转移
很明显一个点朝其他点转移的状态量小且固定
利用矩阵快速幂优化掉n
期望复杂度 $ Theta left( 9^{3} log n ight) $