CF285E Positions in Permutations

Posted 2021-01-17 xcysblog

这题的思路跟这题差不多

设 f[i][j][0/1][0/1] 到第 i 位，有至少 j 个位置满足条件
且数字 i 有 / 没有用过，数字 i + 1 有 / 没有用过

每次转移的时候就选择是否是这个位置满足条件

让他满足条件的话就从之前的没有填过 i - 1 的状态转移过来

让他不满足条件就填上一个空数字
只要在最后乘上一个 空数字总数的阶乘 就是想要的排列个数了

但是这样在某个排列中可能还会多出一些符合条件的位置
但至少 j 个是有保证的

这样最后就可以计算出来至少有 j 个满足条件的方案数

再容斥一下就好了

就是 ans = 至少 k 个 - C(k + 1, k) * 至少 (k + 1) 个 + C(k + 2, k) * 至少选 (k + 2) 个 - ...

一直算到 n 就好了，因为总长是 n 的

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 代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAX_N = 1005;
const ll mod = 1000000007ll;

int n, k;
int pi[MAX_N], C[MAX_N][MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N][2][2], at_least[MAX_N];

inline void add(int &x, int y) {
    x = (x + y) % mod;
    return;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    pi[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) pi[i] = int(1ll * pi[i - 1] * i % mod);
    f[0][0][1][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        register int maxj = min(i, n);
        for (int j = 0; j <= maxj; ++j) {
            add(f[i][j][0][0], int(1ll * (f[i - 1][j][0][0] + f[i - 1][j][1][0]) % mod));
            add(f[i][j][1][0], (f[i - 1][j][0][1] + f[i - 1][j][1][1]) % mod);
            add(f[i][j + 1][0][0], f[i - 1][j][0][0]);
            add(f[i][j + 1][1][0], f[i - 1][j][0][1]);
            add(f[i][j + 1][0][1], int(1ll * (f[i - 1][j][0][0] + f[i - 1][j][1][0]) % mod));
            add(f[i][j + 1][1][1], int(1ll * (f[i - 1][j][0][1] + f[i - 1][j][1][1]) % mod));
        }
    }
    for (int i = 0; i <= n; ++i) 
        at_least[i] = 1ll * (f[n][i][0][0] + f[n][i][1][0]) % mod * pi[n - i] % mod;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; ++j) 
            C[i][j] = int(1ll * (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod);
    }
    int ans = at_least[k];
    for (int i = k + 1; i <= n; ++i) {
        ans = (1ll * (ans + (((i - k) & 1) ? -1ll : 1ll) * C[i][k] * at_least[i]) % mod + mod) % mod;
    }
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}