最值反演 min-max容斥

Posted 2021-01-17 utopia999

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最值反演是针对一个集合中最大/最小值的反演。
[ max{S}=sum_{Tsubset S}(-1)^{|T|+1}min{T} ]
如{1,2,3,4}的最大值=1+2+3+4-1-1-1-2-2-3+1+1+1+2-1=4。

套一个期望，就有该式子的期望形式：
[ mathbb{E}[max{S}]=sum_{Tsubset S}(-1)^{|T|+1}mathbb{E}[min{T}] ]

例题

给定集合(S)中每个元素出现的概率(p_i)，其和为(1)，每次会按概率出现一个元素。求每个元素都至少出现一次的期望次数。

可用状压DP解决，复杂度(O(2^ncdot n))。

考虑定义集合(T)中元素的比较运算为最早出现时间更早。则(mathbb{E}[min{T}])的意义为(T)中出现任意一个元素的期望次数。因为每次只能出现一个数，出现任意一个数的概率显然就是集合中所有概率的和。因此这个期望等于(frac{1}{sum_{iin T}p_i})。最后答案即为(mathbb{E}[max{S}])，用上面的反演即可，时间复杂度为(O(2^n))。

给定集合(S)中每个元素每次出现的概率(p_i)，元素互相独立。求每个元素都至少出现一次的期望次数。

此时(T)中出现任意一个元素的概率是(1)减去所有元素都不出现的概率。