扩展欧几里得及中国剩余定理

Posted 2021-01-17 zerokei

Exgcd

扩展欧几里得

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){x=1,y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);b-=y*(a/b);
}

对于 (gcd(a,b)=g) ，(a imes k_1+b imes k_2 =g)

通过 (exgcd(a,b,x,y)) (k_1=x+k imes b)

对于 (gcd(a,b)=g) ，(a imes k_1+b imes k_2=C imes g)

通过 (exgcd(a,b,x,y)) (k_1 = x imes C+k imes b)

中国剩余定理

这里只讨论不互质的扩展情况

证明

现在有两条式子：

(X=a_1 imes k_1+b1)

(X=a_2 imes k_2+b_2)

可得恒等式

(a_1 imes k_1-a_2 imes k_2=b_2-b_1)

那么可以通过(exgcd)求出 (k_1) 的一组解

设合并上面两式的结果为 (X=a_3 imes k_3+b_3)

那么有 (a_3 imes k_3+b_3=a_1 imes k_1+b_1)

易得 (a_3=lcm(a_1,a_2))

则 (b_3=(a_1 imes k_1+b_1)\%a_3)

struct CRT{
    static const int M=2888;
    LL A[M],B[M];
    int sz;
    void insert(int a,int b){A[++sz]=a,B[sz]=b;}
    LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
    void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
        if(!b){x=1,y=0;return;}
        exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;
    }
   LL Exgcd(LL A,LL B,LL C){
    LL x,y;
      exgcd(A,B,x,y);
      return (x*C%B+B)%B;
   }
    LL Solve(){
        FOR(i,1,sz-1){
            LL C=B[i+1]-B[i],g=gcd(A[i],A[i+1]);
            if(C%g)return -1;//无解
            C/=g;
            LL k1=Exgcd(A[i]/g,A[i+1]/g,C);
            A[i+1]=A[i]/g*A[i+1];
         B[i+1]=(A[i]*k1+B[i])%A[i+1];
      }
      return B[sz];
    }
}CT;