拓扑排序

Posted 2021-01-16 lfri

拓扑排序

从离散数学的角度定义，假设(A,≤)是有限偏序集，对其进行拓扑排序是指将其扩展成一个全序集，使得≤∈<，即对任意的a,b∈A,若a≤b,则a<b。

从图论的角度定义，对一个有向无环图G进行拓扑排序，是将G中所有的顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v,如果(u,v)∈E(G),则u在线性序列中应出现在v之前。

思路

从离散数学的角度定义，拓扑排序是针对有限偏序集的，由离散数学的知识知，若(A,≤)是偏序集，则拟序集(A,<)中不存在长度大于1的环（这其实与无环图对应）,所以有限偏序集可以画成哈斯(Hasse)图。Hasse图非空时总存在极小元，每次输出极小元，更新Hasse图，直到Hasse为空。

从图论的角度，极小元等同于图中入度为0的顶点，每次输出入度为0的点，更新与之相连点的入度，直到输出全部顶点。如果存在顶点没有输出，说明存在环。

样题

给任务排序(UVa10305)

假设有n个任务，还有m个二元组(u,v)，(u,v)表示u必须在v之前执行。请输出n个任务按顺序执行的一种可能情况。

代码实现

邻接矩阵+队列

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<cstring>
 3 #include<queue>
 4 #include<vector>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int V = 100 + 10;            //最大顶点数
 8 const int E = 100 * 100 + 10;    //最大边数
 9 vector<int>e[V];        //邻接矩阵存图
10 int in[V];                //顶点的入度
11 
12 int m, n;
13 
14 int main()
15 {
16     while (scanf("%d%d", &n, &m) == 2 && n)
17     {
18         for (int i = 0; i < n; i++)        
19         {
20             e[i].clear();
21             in[i] = 0;
22         }
23         for (int i = 0; i < m; i++)
24         {
25             int from, to;
26             scanf("%d%d", &from, &to);
27             e[from].push_back(to);
28             in[to]++;
29         }
30         vector<int>ans;
31         queue<int>q;
32         for (int i = 1; i <= n; i++)  if (!in[i])    q.push(i); //将入度为0的入队
33         while (!q.empty())
34         {
35             int u = q.front(); q.pop();
36             ans.push_back(u);
37             for (int i = 0; i < e[u].size(); i++)        //遍历与之相连的顶点
38                 if ((--in[e[u][i]]) == 0)  q.push(e[u][i]);    //入度减1，如果为0，入队
39         }
40         for (int i = 0; i < ans.size(); i++)
41             printf("%d ", ans[i]);
42         printf("
");
43     }
44     return 0;
45 }

 dfs

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<vector>
 6 #include<cstring>
 7 using namespace std;
 8 
 9 const int maxn = 100 + 10;
10 vector<int>G[maxn];
11 int c[maxn], topo[maxn], t;
12 int n, m;
13 
14 bool dfs(int u)
15 {
16     c[u] = -1;    //正在访问,dfs(u)正在栈帧中，尚未返回
17     for (int i = 0; i < G[u].size(); i++)
18     {
19         if (G[u][i])
20         {
21             if (c[G[u][i]] < 0) return false;
22             else if (!c[G[u][i]] && !dfs(G[u][i]))    return false;
23         }
24     }
25     c[u] = 1;    //已经访问过，dfs(u)已被调用过，并已访问
26     topo[--t] = u;
27     return true;
28 }
29 
30 bool toposort()
31 {
32     t = n;
33     memset(c, 0, sizeof(c));
34     for (int i = 1; i <= n; i++)
35         if (!c[i] && !dfs(i))        //c[i]为0表示从未访问过
36             return false;
37     return true;
38 }
39 
40 void slove()
41 {
42     if (toposort())
43     {
44         for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
45             printf("%d ", topo[i]);
46         printf("
");
47     }
48 }
49 
50 int main()
51 {
52     int u, v;
53     while (scanf("%d%d", &n, &m) == 2 && n)
54     {
55         for (int i = 0; i <= n; i++)    G[i].clear();
56         for (int i = 0; i < m; i++)
57         {
58             scanf("%d%d", &u, &v);
59             G[v].push_back(u);
60         }
61         slove();
62     }
63     return 0;
64 }

 参考链接：

https://baike.baidu.com/item/拓扑排序/5223807?fr=aladdin

https://blog.csdn.net/qq_41713256/article/details/80805338

中国大学mooc  刘铎  离散数学