CF285E Positions in Permutations(dp+容斥)

Posted 2021-01-16 zh-comld

题意，给定n,k,求有多少排列是的 | p[i]-i |=1 的数量为k。

Solution

直接dp会有很大的后效性。

所以我们考虑固定k个数字使得它们是合法的，所以我们设dp[i][j][0/1][0/1]表示前i个数，填了j个数，当前位置有没有被选，下一位有没有被选，这样做的话，转移会比较简单。

那么除去这j个数，剩下的数随便填，乘上全排列就好了。

但这样会多算。

然后这种问题有一个容斥模型，直接套上就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 1002
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,k;
ll dp[N][N][2][2],jie[N],ni[N],g[N],ans;
const int mod=1e9+7;
ll calc(int n,int m){
    return jie[n]*ni[m]%mod*ni[n-m]%mod;
}
ll power(ll x,int y){
    ll ans=1;
    while(y){
        if(y&1)(ans*=x)%=mod;
        (x*=x)%=mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);jie[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)jie[i]=(jie[i-1]*i)%mod;ni[n]=power(jie[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;--i)ni[i]=ni[i+1]*(i+1)%mod;
    dp[0][0][1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<=n;++j){
            dp[i][j][0][0]=(dp[i-1][j][0][0]+dp[i-1][j][1][0])%mod;
            dp[i][j][1][0]=(dp[i-1][j][0][1]+dp[i-1][j][1][1])%mod;
            if(j){
            (dp[i][j][0][0]+=dp[i-1][j-1][0][0])%=mod;
            dp[i][j][0][1]+=(dp[i-1][j-1][0][0]+dp[i-1][j-1][1][0])%mod;
            dp[i][j][0][1]%=mod;
            (dp[i][j][1][0]+=dp[i-1][j-1][0][1])%=mod;
            dp[i][j][1][1]+=(dp[i-1][j-1][0][1]+dp[i-1][j-1][1][1])%mod;
            dp[i][j][1][1]%=mod;
            }
        }
    }
    for(int i=k;i<=n;++i)
      g[i]=(dp[n][i][0][0]+dp[n][i][1][0])%mod*jie[n-i]%mod;
    for(int i=k;i<=n;++i)(ans+=(((i-k)&1)?-1:1)*calc(i,k)*g[i]%mod+mod)%=mod;
    ans=(ans+mod)%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}