小奇的矩阵（动态规划

Posted 2021-01-16 hlauv

【题目 背景】

小奇总是在数学课上思考奇怪的问题。

【问题描述】

给定一个 n*m 的矩阵， 矩阵中的每个元素 aij 为正整数。

接下来规定

1. 合法的路径初始从矩阵左上角出发， 每次只能向右或向下走， 终点为右下 角。

2. 路径经过的 n+m-1 个格子中的元素为 A1, A2…A(n+m-1) ， Aavg 为 Ai 的平 均数， 路径的 V 值为(n+m-1) *∑ (Ai-Aavg) ^2 (1<=i<=n+m-1)

求 V 值最小的合法路径， 输出 V 值即可， 有多组测试数据。

【输入格式】

第一行包含一个正整数 T， 表示数据组数。

对于每组数据： 第一行包含两个正整数 n 和 m， 表示矩阵的行数和列数。

接下来 n 行， 每行 m 个正整数 aij， 描述这个矩阵。

【输出格式】

对于每次询问， 输出一行一个整数表示要求的结果

【样例输入】

12 2 1 2 3 4

【样例输出】

14

【数据范围】

对于 30%的数据 n<=10， m<=10

有另外 40%的数据 n<=15 m<=15， 矩阵中的元素不大于 5

对于100%的数据 T<=5， n<=30， m<=30， 矩阵中的元素不大于 30

---

 

下面全都是自己的话

 

又是一道小奇系列的题，感觉要被可爱的小奇洗脑了（麻烦你作为一只小猫不要再数学课上胡思乱想好不好啦）

首先一看这个神秘的式子，初中学历以上的OIer们在内心尖叫：我知道！这是在求方差！

可是为什么要求平均数而最后的结果还是整数啊？？是不是把小数点全抹掉四舍五入啊？？会不会爆精度啊？？NOIP好像不让用long double 来着...

别急，我们先看数据规模，并不是很大，熟悉动态规划的同学应该都会直接想到DP了。但是——我要走到终点才能知道平均数是多少啊，这个后效性阻断了了我的AC之路。。

所以还是回到式子上，考虑一下化简。

观察到式子的一开始乘了一个（n+m-1），化简后居然把所有所有的分母都消去了（！）

最终化简出来大概是这样

(n+m-1)*(a1^2 + a2^2 + a3^2 +...+ai^2)-(a1+a2+a3+...+ai)^2

啊哈，原来根本不用什么double型嘛，结果都是整数的。

那我们接下来考虑DP方程怎么写吧，要怎么表示每一个坐标的状态呢？？
......
......
......
......
......
f[i][j][.....??
......
......

同样的Sigma(ai)是可以表示不同的Sigma(ai^2)的（！）

所以我们的数组f[i][j][k],前两维就表示走到的位置（i,j）咯，然后k表示此时的Sigma(ai)（就是刚刚那个式子后面的部分除去平方），这个状态下式子的前半部分(n+m-1)*(a1^2 + a2^2 + a3^2 +...+ai^2) 最小是多少（！）太好了这样就可以转移了，既满足最优子结构的性质，又满足无后效性。

相信大家都能自己写出转移方程了吧（实在不行就看代码吧）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 
 7 #define For(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)
 8 #define Dwn(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;--i)
 9 #define Re register
10 #define Pn putchar(‘
‘)
11 #define llg long long
12 using namespace std;
13 const int N=32;
14 int n,m,a[N][N],nxm,Mx=0;
15 llg f[N][N][2000];
16 inline void read(int &v){
17     v=0;
18     char c=getchar();
19     while(c<‘0‘||c>‘9‘)c=getchar();
20     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘)v=v*10+c-‘0‘,c=getchar();
21 }
22 void write(llg x){
23     if(x>9)write(x/10);
24     int xx=x%10;
25     putchar(xx+‘0‘);
26 }
27 int main(){
28     freopen("matrix.in","r",stdin);
29     freopen("matrix.out","w",stdout);
30     int T; read(T);
31     while(T--){
32         read(n); read(m);
33         nxm=n+m-1;
34         For(i,1,n) For(j,1,m)read(a[i][j]);
35         
36         memset(f,-1,sizeof(f));
37         
38         f[1][1][a[1][1]]=nxm*a[1][1]*a[1][1];
39         Mx=a[1][1];
40         
41         For(i,1,n) For(j,1,m){
42             if(i==1&&j==1)continue;
43             int adx=a[i][j];
44             int pMx=Mx;
45             Dwn(k,pMx,1){
46                 llg fx;
47                 
48                 fx=f[i-1][j][k];   // I walk to you from your top side
49                 if(fx!=-1){
50                     Mx=max(Mx,k+adx);
51                 
52                     if(f[i][j][k+adx]==-1){
53                         f[i][j][k+adx]=fx+nxm*adx*adx;
54                     }else{
55                         f[i][j][k+adx]=min(f[i][j][k+adx],fx+nxm*adx*adx);
56                     }
57                 }
58                 
59                 fx=f[i][j-1][k];  // I walk to you from your left side
60                 if(fx!=-1){
61                     Mx=max(Mx,k+adx);
62                     
63                     if(f[i][j][k+adx]==-1){
64                         f[i][j][k+adx]=fx+nxm*adx*adx;
65                     }else{
66                         f[i][j][k+adx]=min(f[i][j][k+adx],fx+nxm*adx*adx);
67                     }
68                 }
69                 
70             }
71             
72         }
73 
74         llg ans=1e18;
75         For(i,1,Mx) if(f[n][m][i]!=-1){
76             ans=min(ans,f[n][m][i]-i*i);
77         }
78         write(ans); Pn;
79     }
80     fclose(stdin); fclose(stdout);
81     return 0;
82 }

 希望能得到支持（推荐）