[模拟赛]路途

Posted 2021-01-16 onglublog

题意

给定(n)个点((nle 40))，(m)条((mle 1000))长为(1)的边（无重边有自环）。
(q)个询问((qle 40))，每次询问两个点之间长度在(l,r(l,rle 10^9,(r-1)le 200))之间的路径数。

分析

一开始打了个爆搜结果一分都没有。
正解是弗洛伊德。

30pts

(f[i][j][k])表示从(i)到(j)路径长度为(k)的方案数。
很明显(k=1)的时候(f[i][j][k]=g[i][j])，(g[i][j])为邻接矩阵，表示(i,j)之间有一条边。
我们可以从(2)到(l-1)递推一遍，然后再从(l)到(r)递推一遍，这次统计方案数。
注意(l=1)时的特判，这样子30分到手。
时间复杂度(O(n^3qr))

70pts

然后我们可以注意到，上面的运算和矩阵的运算有点相似。
我们发现，邻接矩阵就是系数矩阵，代表(k-1)长度的路径能否转移到(k)长度的路径。
我们递推一次就相当于乘以一个邻接矩阵，我们可以用矩阵快速幂快速递推出(k=l)时的f矩阵。
时间复杂度(O(n^3q((r ? l) + log n)))

100pts

我们要拿满分还必须优化掉((r-l))前面的系数。
我们预处理一遍前缀和，用一个(sum)矩阵保存(1~200)的系数前缀和。
算出(A^l)之后我们只要乘上这个前缀和矩阵就可以直接算出答案了，这样我们就能把((r-l))前的系数优化到(1)了。

代码

30pts

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1009,N=50;
const int Maxn=10000009;
const int mod=2333;
int read(){
    char c;int num,f=1;
    while(c=getchar(),!isdigit(c))if(c=='-')f=-1;num=c-'0';
    while(c=getchar(), isdigit(c))num=num*10+c-'0';
    return f*num;
}
int n,m,s,t,l,r,g[50][50];
int f[50][50][5],Case;
void work(){
    s=read();t=read();l=read();r=read();
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            f[i][j][1]=g[i][j];
            if(l==1&&i==s&&j==t)
                ans+=f[i][j][1];
        }
    for(int k=2;k<l;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++){
                f[i][j][k%2]=0;
                for(int mid=1;mid<=n;mid++)
                    f[i][j][k%2]=(f[i][j][k%2]+f[i][mid][(k-1)%2]*g[mid][j])%mod;
            }
    for(int k=max(l,2);k<=r;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++){
                f[i][j][k%2]=0;
                for(int mid=1;mid<=n;mid++)
                    f[i][j][k%2]=(f[i][j][k%2]+f[i][mid][(k-1)%2]*g[mid][j])%mod;
                if(i==s&&j==t)
                    ans=(ans+f[i][j][k%2])%mod;
            }
    printf("%d
",ans);
}
int main()
{
    freopen("l.in","r",stdin);
    freopen("l.out","w",stdout);
    n=read();m=read();
    int u,v;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u=read();v=read();
        g[u][v]=g[v][u]=1;
    }
    Case=read();
    while(Case--)work();
    return 0;
}

70pts

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1009,N=50;
const int Maxn=10000009;
const int mod=2333;
struct mat{
    int a[50][50];
    mat(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
}f[209],g,now;
int read(){
    char c;int num,f=1;
    while(c=getchar(),!isdigit(c))if(c=='-')f=-1;num=c-'0';
    while(c=getchar(), isdigit(c))num=num*10+c-'0';
    return f*num;
}
int n,m,s,t,l,r,Case;
mat operator *(mat A,mat B){
    mat C;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            C.a[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                C.a[i][j]=(C.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j]%mod)%mod;
    return C;
}
mat operator ^(mat A,int p){
    mat C=A;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            C.a[i][j]=0;
        C.a[i][i]=1;
    }
    for(;p;p>>=1,A=A*A)
        if(p&1)C=C*A;
    return C;
}
mat operator +(mat A,mat B){
    mat ans;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            ans.a[i][j]=A.a[i][j]+B.a[i][j];
            if(ans.a[i][j]>=mod)ans.a[i][j]-=mod;
        }
    }
    return ans;
}
void work(){
    s=read();t=read();l=read();r=read();
    int ans=0;
    if(l>r){printf("0
");return ;}
    now=g^l;
    for(int k=1;k<=(r-l+1);k++){
        ans=(ans+now.a[s][t])%mod;
        now=now*g;
    }
    printf("%d
",ans);
    return ;
}
int main()
{
    freopen("l.in","r",stdin);
    freopen("l.out","w",stdout);
    n=read();m=read();
    int u,v;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u=read();v=read();
        g.a[u][v]=g.a[v][u]=1;
    }
    Case=read();
    while(Case--)work();
    return 0;
}

100pts

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1009,N=50;
const int Maxn=10000009;
const int mod=2333;
struct mat{
    int a[50][50];
    mat(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
}sum[209],g,now;
int read(){
    char c;int num,f=1;
    while(c=getchar(),!isdigit(c))if(c=='-')f=-1;num=c-'0';
    while(c=getchar(), isdigit(c))num=num*10+c-'0';
    return f*num;
}
int n,m,s,t,l,r,Case;
mat operator *(mat A,mat B){
    mat C;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            C.a[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                C.a[i][j]=(C.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j]%mod)%mod;
    return C;
}
mat operator ^(mat A,int p){
    mat C=A;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            C.a[i][j]=0;
        C.a[i][i]=1;
    }
    for(;p;p>>=1,A=A*A)
        if(p&1)C=C*A;
    return C;
}
mat operator +(mat A,mat B){
    mat ans;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            ans.a[i][j]=A.a[i][j]+B.a[i][j];
            if(ans.a[i][j]>=mod)ans.a[i][j]-=mod;
        }
    }
    return ans;
}
void work(){
    s=read();t=read();l=read();r=read();
    int ans=0;
    if(l>r){printf("0
");return ;}
    now=g^l;
    now=now*sum[r-l];
    printf("%d
",now.a[s][t]);
    return ;
}
int main()
{
    freopen("l.in","r",stdin);
    freopen("l.out","w",stdout);
    n=read();m=read();
    int u,v;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u=read();v=read();
        g.a[u][v]=g.a[v][u]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)now.a[i][i]=1;
    sum[0]=now;
    for(int i=1;i<=201;i++){
        now=now*g;
        sum[i]=sum[i-1]+now;
    }
    Case=read();
    while(Case--)work();
    return 0;
}