I.Tower Defense

Posted 2021-01-16 zhuiyicc

给你p个重塔，q个轻塔，把这些塔放在n*m的图中，这些塔会相互攻击同行同列的，轻塔不能受到攻击，重塔能承受一个塔的攻击，

问放的方法数。

先假定n < m。

可以先枚举放轻塔的个数为s，显然，方法数为C(n,s) * m * (m-1) * ... * (m-s+1) ，放完之后我们可以发现图其实缩小成为了一个(n-s)*(m-s)的图。

然后放重塔，由于重塔可以承受一个塔的攻击，dp求一下方案，令dp(i,j,k) 表示i*j的图中放k个重塔的方法，通过在图的第一行进行限定条件枚举。

可分为3个小部分:

1.第一行不放重塔 dp(i,j,k) += dp(i-1,j,k)

2.第一行放一个重塔，又分两种情况:

A：同一列不放重塔 dp(i,j,k) += j*dp(i-1,j-1,k-1)

B：同一列放重塔 dp(i,j,k) += j*(i-1)*dp(i-2,j-1,k-2)

3.第一行放两个重塔

dp(i,j,k) += C(j,2)*dp(i-1,j-2,k-2)

求出dp数组之后即总方法数为segma(0,q,i) segma(0,p,j) C(n,i)*m*...*(m-i+1)*dp(n-i,m-i,j)

由于不能不放，所以需要最后减去1.

时间复杂度为K*200^3,K为一常数。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cassert>
#include <cstring>
#include <set>
#include <map>
#include <list>
#include <queue>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <stack>
#include <bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define maxn (1000005)
#define mod 1000000007
#define ull unsigned long long
ll C[205][205],dp[205][205][205];
void init(){
    for(int i = 0;i <= 200;++i) C[i][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= 200;++i){
        for(int j = 1;j <= i;++j){
            C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];
            if(C[i][j] >= mod) C[i][j] %= mod;
        }
    }
    for(int i = 0;i <= 200;++i) for(int j = 0;j <= 200;++j) dp[i][j][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= 200;++i){
        for(int j = 1;j <= 200;++j){
            for(int k = 1;k <= 200;++k){
                //第一行不取
                if(i == 2 && j == 2){
                    int t = 1;
                }
                dp[i][j][k] += dp[i-1][j][k];
                //第一行取一个
                dp[i][j][k] += j * dp[i-1][j-1][k-1]%mod;//对应的列不取
                if(dp[i][j][k] >= mod) dp[i][j][k] %= mod;
                if(i >= 2 && k >= 2) dp[i][j][k] += j * (i-1) * dp[i-2][j-1][k-2]%mod;//对应的列取
                if(dp[i][j][k] >= mod) dp[i][j][k] %= mod;
                //第一行取两个
                if(j >= 2 && k >= 2) dp[i][j][k] += C[j][2]*dp[i-1][j-2][k-2]%mod;
                if(dp[i][j][k] >= mod) dp[i][j][k] %= mod;
            }
        }
    }
}
ll quickpow(ll x,ll y){
    ll ans = 1;
    while(y){
        if(y & 1){
            ans = ans * x;
            if(ans >= mod) ans %= mod;
        }
        x *= x;
        if(x >= mod) x %= mod;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    int n,m,p,q;
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);
        if(n > m) swap(n,m);
        int li = min(q,n);
        ll s = 1,ans = 0;
        for(int i = 0;i <= li;++i){
            for(int j = 0;j <= p;++j){
                ans = ans + C[n][i] * s % mod * dp[(n-i)][(m-i)][j] % mod;
                if(ans >= mod) ans %= mod;
            }
            s = s * (m - i);
            if(s >= mod) s %= mod;
        }
        --ans;
        if(ans < 0) ans += mod;
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}