Codeforces Round #519 by Botan Investments F. Make It One

Posted 2021-01-16 virtu0s0

https://codeforces.com/contest/1043/problem/F

题意

给你n个数，求一个最小集合，这个集合里面数的最大公因数等于1
1<=n<=3e5
1<=a[i]<=3e5

思路

• 先考虑什么情况下满足集合中的最大公因数=1？
• 集合中的每个数没有共同的素因子，即所有素因子并没有包含于选出集合的所有数中，存在结论前7个素因子的乘积为510510，所以可以得出选出的集合大小最大为7
• 定义dp[i][j]为，集合大小为i，集合最大公因数=j的方案数
• dp[i][j]= (egin{pmatrix} cnt[j] \ i \ end{pmatrix}) - (sum_{k=2}^{infty})dp[i][j*k]

处理

• 逆元打表求组合数
• log(3e5)时间处理出每个数的倍数个数cnt[i]
• 从后往前扫求dp[i][j]

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;
const int P =1e9+7;
const int M =3e5+5;

ll F[M],Finv[M],inv[M],dp[20][M],cnt[M];
int n,x,i,j,k;

void init(){
    F[1]=Finv[1]=inv[1]=Finv[0]=inv[0]=1;
    for(int i=2;i<M;i++)inv[i]=inv[P%i]*(P-P/i)%P;

    for(int i=2;i<M;i++){
        Finv[i]=Finv[i-1]*inv[i]%P;
        F[i]=F[i-1]*i%P;
    }
}
        
ll C(int n,int m){
    if(m<0||n<m)return 0;
    if(m==0||n==m)return 1;
    return F[n]*Finv[n-m]%P*Finv[m]%P;
}

int main(){
    init();
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        cin>>x;cnt[x]++;
    }
    for(i=1;i<M;i++)
        for(j=i+i;j<M;j+=i)
            cnt[i]+=cnt[j];

    for(i=1;i<=15;i++){
        for(j=M-1;j>=1;j--){
            dp[i][j]=C(cnt[j],i);
            for(k=j+j;k<M;k+=j){
                dp[i][j]=(dp[i][j]-dp[i][k]+P)%P;
            }
        }
        if(dp[i][1]>0){
            cout<<i;return 0;
        }
    }
    cout<<-1;
}