偏微分方程数值解---学习总结

Posted 2021-01-16 merles

偏微分方程数值解---学习总结

1.知识回顾 （注:(mit V)是线性空间）

• 内积 $(cdot ,cdot):mit V imes mit V longrightarrow R $ 是一个双线性映射，并且满足 ((i) (u,v)=(v,u), forall , u,v inmit V);

? $(ii) (u,u) ge 0, forall , u in mit V $ ; ((iii) (u,u)=0) 当且仅当 (u=0).

• 半范数 (||cdot||:mit V longrightarrow R) 是一个线性映射，满足 ((i) ||v||ge 0, forall , v in mit V;) $(ii) ||cv||=|c|||v||,forall v in mit V, forall c in R; $

  ? ((iii) ||u+v||leq ||u||+||v||, forall u, v in mit V.)

• 范数 半范数+条件：(||u||=0) 当且仅当 (u=0).

• 范数等价定理：设 (||cdot||) 和 (|||cdot|||) 是线性空间 (mathbf V) 上两个范数，如果存在两个正数 (c_1) 和 (c_2，)

  ? 满足下列 不等 式, 则称 (||cdot||) 和 (|||cdot|||) 是等价的，
  [ c_1 ||v||leq |||v||| leq c_2 ||v||, forall ,c_1,c_2 in R,,forall ,v in mit V. ]

• 内积空间 如果一个线性空间被赋予内积,则它就是一个内积空间.

  • 内积可以产生诱导范数
    [ ||v||=(v,v)^{1/2},,forall ,v in mit V. ]

  • Schwarz inequality
    [ |(w,v)|leq ||w||,||v||,, forall w,v in mit V. ]

• 希尔伯特空间 完备的内积空间是希尔伯特空间，即内积空间内任意柯西序列都是收敛的。
• 赋范线性空间 如果一个线性空间被赋予范数，则它成为赋范线性空间。
  • 内积空间一定是赋范线性空间，其范数为 (||v||=(v,v)^{1/2},,forall ,v in mit V.)
• 巴拿赫空间 完备的赋范线性空间，即赋范线性空间内任意柯西序列都是收敛的。
  • 希尔伯特空间一定是巴拿赫空间。

2 . 新概念

• 对偶空间

  • 如果（(mit V, ||cdot||_{mit V})）和 （(mit W, ||cdot||_{mit w})）是两个赋范线性空间, 所有从(mathbf V) 到(mit W) 的线性泛函构成一个赋范线性空间 , 记为 (scr L(mit V;mit W)) . 对于 (L in scr L(mit V;mit W)),定义范数如下：
    [ ||L||_{scr L(mit V;mit W)}:=sup_{0 eq v in mit V}frac{||Lv||_{mit W}}{||v||_{mit V}}. ]

  • 如果(mit W) 空间是一个巴拿赫空间，则 (scr L(mit V;mit W)) 也是一个巴拿赫空间。

  • 如果(mit W=R), 则称({color{Red}scr L(mit V;mathbf R)})是 (mit V) 的对偶空间，常记为({color{Red}mit V‘}).

  • 对偶对(duality pairing) 满足下列的双线性形式，就被称为 (mit V) 和(mit V‘) 之间的对偶对，
    [ egin{align*} <cdot,,,cdot>&:mit V‘ imes mit V longrightarrow R&<L,v>longmapsto L(v). end{align*} ]

• 各种收敛性定义

  • 强收敛：赋范线性空间(mit V) 中序列 ({v_n}) 弱收敛于 (v , in mit V) 是指按范数收敛，即 (||v_n-v|| ightarrow0(n ightarrow infin).)

  • 弱收敛：赋范线性空间(mit V) 中序列 ({v_n}) 弱收敛于 (v , in mit V) 是指 对任意一个(Linmit V‘), 均有 (L(v_n)) 收敛于 (L(v),) 即 (|L(v_n)-L(v)| ightarrow0(n ightarrow infin).)

  • *弱收敛：对偶空间(mit V’) 中序列 ({L_n}) 弱收敛于 (L , in mit V‘) 是指对任意一个(vin mit V), 均有

    ? (||L_n(v)-L(v)|| ightarrow 0(n ightarrow infin).)

    • ({color{Red}mit V 中强收敛 Rightarrow 弱收敛.})
    • ({color{Red}mit V‘ 中弱收敛 Rightarrow * 弱收敛.})

• (mit L^{p}(Omega)) 空间 (Omega_{开}subset R^{d}),(dge 1),且 (Omega) 是 Lebesgue 可测。

  • [ egin{align*}mit L^{p} &:=left{v,,ig|int_{Omega},left|v(x) ight|,^p,dx leq infin ight},,1 leq p, <infin,\mit L^{infin} &:=supleft{|v(x)| ig| ,,xinOmega ight}<infin. end{align*} ]

? 其范数为
[ egin{align*}||v||_{mit L^{p}} &:=left(int_{Omega},left|v(x) ight|,^p,dx ight)^{1/p} ,,1 leq p, <infin,||v||_{mit L^{infin}} &:=supleft{|v(x)| ig| ,,xinOmega ight} end{align*} ]

• (mit L^{2}(Omega)) 空间实际上是赋予右侧内积的希尔伯特空间，$(w,v){mit L^{2} (Omega)}=int{Omega},w(x),v(x),,dx $
  • ({color{Red}||cdot||_0=||cdot||_{mit L^{2} (Omega)}})({color{Black}{记住}})
  • (mit L^{p}(Omega)) 是Banach空间（它的对偶空间为(mit L^{q}(Omega)), (frac{1}{p}+frac{1}{q}=1)），而只有(mit L^{2}) 是Hilbert 空间(对偶空间为本身).
  • $H ddot{o}lder (不等式：)ig|int_{Omega}, w(x)v(x)dx ig|leq,||w||{mit L^{p}(Omega)}||v||{mit L^{q}(Omega)},,,frac{1}{p}+frac{1}{q}=1.$
  • (mit L^{p}(Omega)) $ subset mit L^{q}(Omega),,,,qleq p.$

• 分布函数（(Distributions)）

  • (mit C^{infin}_{0}(Omega)) 是 (Omega) 上具有紧支集(i.e. 存在有界开集(Omega‘subset Omega), (d (partOmega,Omega)>0)) 无穷维可微函数函数，且在边界上任意阶导数为零, 有时也记成 (mathcal{D}(Omega)).

  • (mathcal{D}(Omega)) 中元素的导数 (mathcal {D}^{alpha}v:=frac{part^{|alpha|}v}{part^{alpha_1}x_1part^{alpha_2}x_2 cdotspart^{alpha_d}x_d},) 其中 (|alpha|=alpha_1+alpha_2+cdots+alpha_d.)

  • (v_n in mathcal{D}(Omega)) 收敛于 (v in mathcal{D}(Omega)) 是指 存在一个有界闭子集(K) 满足对任意一个 (n)，(v_n)在(K) 外均为0，且对任意非负指标 (alpha), 导数 (mathcal{D}^{alpha}v) 一致收敛于(mathcal{D}^{alpha}v.)

  • (color{Red}分布)：(mathcal{D}(Omega))对偶空间中的任一元素都被称为一个分布，即分布就是(mathcal{D}(Omega)) 上的线性泛函，(L in mathcal{D‘}(Omega))和 (v in mathcal{D}(Omega),) (L(v)=<L,,v>) (dualiy ,,pairing.)

  • 定义 (mathcal{D}(Omega))的一个范数，(||v||_k=sup_{Omega}|v(x)|, , v inmathcal{D}(Omega).)(可以自己证明一下)

  • $mit L^{p}(Omega) $(subset mathcal{D‘}(Omega)), but $ mathcal{D‘}(Omega) otsubset mit L^{p}(Omega) ,,pge,1.$

    proof: step 1 证明 $forall L [in mit L^{p}(Omega) $ 是上的$mathcal{D}(Omega)$线性泛函； ]
    egin{align}
    L(v)&=<L,v>=int_{Omega}L(x)v(x),dx,forall v in mathcal{D}(Omega).
    L(alpha_1 v_1 +alpha_2 v_2)&=<L,alpha_1 v_1 +alpha_2 v_2>
    &=alpha_1<L,v_1>+alpha_2<L,v_2>
    &=alpha_1L(v_1)+alpha_2L(v_2),,,,,,,forall alpha_1,alpha_2 in R,v_1,v_2 inmathcal{D}(Omega).
    end{align}
    $$
    ? step 2 证明(L) 是连续的，即证 (|L(v)|leq C||v||_{mathcal{D}(Omega)}.)

    ? 下面我们来证明：
    $$
    egin{align*}
    L(v)&=int_{Omega}L(x)v(x),dx leq ||L||_p||v||q
    &leq ||L||p(int{Omega}|v(x)|^{q}dx)^{frac{1}{q}}
    &leq ||L||p ||v||{mathcal{D}(Omega)}|Omega|^{frac{1}{q}}
    &leq C||v||{mathcal{D}(Omega)}.

    end{align*}
    $$
    ? step3 反证法证明 $ mathcal{D‘}(Omega) otsubset mit L^{p}(Omega) ,,pge,1.$

    ? 假设$ mathcal{D‘}(Omega) subset mit L^{p}(Omega) ,$ 则由(Risze) 表示引理，(forall v in mathcal{D}(Omega)), 存在 (uinmit{L^{p}_{Omega}}),

    ? 满足下列式子

    ?

    ?