浅谈“卡特兰数”

Posted 2021-01-15 -wallace-

引入：卡特兰数。

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。

——百度百科

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一：运算公式。

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式 ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

 

例如：

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

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二：代码实现。

#include <bits/stdc++.h>
int n, f[30];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    f[0]=1,f[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)              
        for(int j=0; j<i; j++) 
            f[i]+=f[j]*f[i-j-1]; //卡特兰数 
    printf("%d",f[n]);
    return 0;
}

这里用了递推的算法。

还可以用递归实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int h(int n)
{
    if(n==0||n==1) return 1;
    return h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);//公式
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    cout<<h(n);
    return 0;
}

 

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三：应用。

·题目描述

　　Luogu P1044 栈 [原题链接]

·解析

本题的描述十分简单。n个数依次进栈，可随机出栈。求有几种可能。

DFS是可以解的，但仔细思考思考，就会发现一个更简单的方法。

我们不妨建立数组f。f[i]表示i个数进出的全部可能性。

那么f[0] = 1, f[1] = 1;（0个数或1个数也没什么其他可能了。）

若设 x 为当前出栈序列的最后一个，则x有n种取值

由于x是最后一个出栈的，所以可以将已经出栈的数分成两部分

• 比x小
• 比x大

比x小的数有x-1个，所以这些数的全部出栈可能为f[x-1]

比x大的数有n-x个，所以这些数的全部出栈可能为f[n-x]

这两部分互相影响，所以一个x的取值能够得到的所有可能性为f[x-1] * f[n-x]

另外，由于x有n个取值，所以：

ans = f[0]*f[n-1] + f[1]*f[n-2] + ... + f[n-1]*f[0];

显而易见——卡特兰数！

题目的数据范围很小，所以直接贴模板也是可以过的。

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四：总结。

那么，就先这样吧。

其实Catalan数还有以下用法：

• 括号化 矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
• 给定节点组成二叉搜索树：给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？（能构成h（N）个）（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

n对括号正确匹配数目：给定n对括号，求括号正确配对的字符串数。(h(n)种)

·经典必练

　　P1722 矩阵 II [原题链接]