动态规划专题——树形DP

Posted 2021-01-15 chenxiaoran666

前言

(DP)这东西真的是博大精深啊......

---

简介

树形(DP)，顾名思义，就是在树上操作的(DP)，一般可以用(f_i)表示以编号为(i)的节点为根的子树中的最优解。

转移的时候一般都将信息由子节点转移到父亲节点，也就是将信息从下往上转移。

因此，一般树形(DP)都会采用 递归 的形式。

---

典例1：树上背包

树形(DP)中有一种比较经典的题型：树上背包。

其实它的思想与普通背包差不多，关键在于它玄学的时间复杂度。

很多看似(O(n^3))会(T)飞（实际上也的确是这样）的题目，可能你用(O(n^3))的树上背包却能跑过（时间复杂度我也不会证），而且不是因为数据水。

可参考一道例题：【洛谷1273】有线电视网。

---

典例2：带权树的直径

普通的树的直径可以用(BFS)来求，但如果是带权的，(BFS)就会被卡炸（可惜我之前不知道）。

于是就用上了树形(DP)。

可参考一道例题：【杂题】访问计划。

---

几道例题

好吧，(DP)好像也没什么东西可讲，这样介绍得还是不够具体。干脆直接看例题来理解一下吧。

第一道例题： 【51nod1299】监狱逃离

这题是一道挺有意思的树形(DP)题，我们可以考虑用(f)数组来记录每一个节点的状态：完全封死、可以从这个节点到达叶子节点、有犯人可以到达该节点，然后就不难统计出答案了。

第二道例题： 【BZOJ4033】[HAOI2015] 树上染色

比较经典的树形(DP)题。这道题最值得注意的地方不是(DP)过程，而是注意在一棵有(n)个节点的树上将(m)个节点染成黑色与将(n-m)个节点染成黑色其实是等价的，不加上这个优化就会(TLE)。

第三道例题： 【BZOJ1040】[ZJOI2008] 骑士

一道恶心的基环外向树(DP)，应该是比较模板的吧。