动态规划专题——数位DP

Posted 2021-01-15 chenxiaoran666

前言

数位(DP) 真的是最恶心的(DP)。

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简介

看到那种给你两个数，让你求这两个数之间符合条件的数的个数，且这两个数非常大，这样的题目一般就是 数位(DP) 题。

数位(DP)一般都用于计数。

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具体实现

数位(DP)有两种实现方法：(DP)预处理+乱搞求答案以及记忆化搜索。

个人感觉用记忆化搜索来实现要比较容易一些（第一种做法我是真的不会）。

数位(DP)在求解的过程中运用了前缀和的思想，即要求(lsim r)范围内的解的个数，就相当于用(0sim r)范围内的解的个数减去(0sim l-1)范围内解的个数即可。

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模板

贴一波记忆化搜索的模板：

class Class_DigitalDP//数位DP（记忆化搜索实现）
{
    private:
        #define Size 15//如果是int范围内，数字长度不会超过15，这个Size要视题目而定
        int len,num[Size],f[Size][10];//len存储数字长度，num记录数字的每一位，f则用于记忆化
        inline void Init(LL x) {len=0;while(x) num[++len]=x%10,x/=10;num[len+1]=0;}//初始化，将x这个数字按位保存下来
        inline int dfs(int x,int s,int flag)//x记录剩余的位数，s记录当前的状态，flag记录当前是否肯定在求解的范围内（0表示不一定，1表示一定）
        {
            register int i,lim=9,w=0;//w用于统计答案
            if(!x) return OK(s);//如果剩余位数为0，就判断当前状态是否满足条件，并退出函数
            if(flag&&~f[x][s]) return f[x][s];//如果当前状态肯定在求解范围内，且已访问并求解过当前状态，就返回曾经求解出的答案
            if(!flag) (Right(num[x])&&(w+=dfs(x-1,GetStatus(s,num[x]),0),0),lim=num[x]-1;//如果不保证在求解范围内，则对这一位上的最大值单独处理，并仍不能保证在求解范围内
            for(i=0;i<=lim;++i) if(Right(i)) w+=dfs(x-1,GetStatus(s,i),1);//枚举每一个数字，如果这个数字符合条件，就继续搜索
            if(flag) f[x][s]=w;//如果当前状态肯定在求解的范围内，就将求解出的答案记录下来，实现记忆化
            return w;//返回答案
        }
    public:
        Class_DigitalDP() {for(register int i=0,j;i<Size;++i) for(j=0;j<9;++j) f[i][j]=-1;}//初始化f数组为-1
        inline int GetAns(int x) {return (void)(Init(x)),dfs(len,0,0);}//将这个数按位保存下来，然后记忆化搜索求解
}DigitalDP;

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几道例题

照常贴几道例题：

第一道例题： 【BZOJ3209】花神的数论题

一道二进制的数位(DP)，可以发现用(DP)预处理得到的是一个杨辉三角形... ...

第二道例题： 【BZOJ1833】[ZJOI2010] count 数字计数

比较经典的数位(DP)题，关键在于要判前导(0)。

第三道例题： 【HDU4507】恨7不成妻

应该是这几道题里我唯一一道写记忆化搜索的，需要加上一点恶心的数学转化。