三角多项式不等式

Posted 2021-01-15 eufisky

(Fejer-Jackson-Growall不等式) 1910年Fejer猜想,三角函数级数
[frac{pi-x}{2}=sum_{k=1}^{infty}frac{sin kx}{k},quad 0<xleqpi]
的所有部分和
[S_n(x)=sum_{k=1}^{n}frac{sin kx}{k}>0,quad n=1,2,ldots,0<x<pi]

(Turan, 1952)设${a_k}(k=1,2,ldots)$为正的严格递减数列.设$displaystyle S_m=sum_{k=1}^{m}b_kgeq 0$.若有$S_m>0$,则有[sum_{k=1}^{n}a_kb_k=sum_{k=1}^{n-1}S_k(a_k-a_{k+1})+a_nS_n>0.]

利用
egin{align*}
sum_{k=1}^n{sin left( 2k-1 ight) x}&=sum_{k=1}^n{frac{cos 2left( k-1 ight) x-cos 2kx}{ ext{2}sin x}}
\
&=frac{1-cos 2nx}{ ext{2}sin x}=frac{sin ^2nx}{sin x}
\
frac{d}{dt}left[ frac{sin 2kt}{2kleft( sin t ight) ^{2k}} ight] &=-frac{sin left( 2k-1 ight) t}{left( sin t ight) ^{2k+1}},
end{align*}
可知
[frac{sin kx}{k}=2int_{x/2}^{pi /2}{left( frac{sin frac{x}{2}}{sin heta} ight) ^{2k}frac{sin left( 2k-1 ight) heta}{sin heta}d heta},]
因此
[sum_{k=1}^n{frac{sin kx}{k}}=2int_{x/2}^{pi /2}{left[ sum_{k=1}^n{left( frac{sin frac{x}{2}}{sin heta} ight) ^{2k}frac{sin left( 2k-1 ight) heta}{sin heta}} ight] d heta}.]

记
[r^{2k}=left( frac{sin frac{x}{2}}{sin heta} ight) ^{2k},quad k=1,2,ldots]
明显$r^{2k}$为递减的,当$0<x<pi,frac{x}{2}leq hetaleqfrac{pi}{2}$时,有
[sum_{k=1}^n{r^{2k}sin left( 2k-1 ight) heta}>0,qquad 0< heta<pi,]
由此得证.