xsy1611 数位dp 数位dp

Posted 2021-01-15 xiefengze1

 

这题是显然的数位$dp$，然而我居然写了一个下午！！！

我们不难想到差分，令$solve(x,y)$表示从第一个数字在区间$[0,x]$，第二个数字在区间$[0,y]$的答案。

不难发现题目中给了你一对$A$,$B$，答案显然为$solve(B,B)-2solve(A-1,B)+solve(A-1,A-1)$。

考虑如何求解$solve(x,y)$函数，令$n=max(len(x),len(y))$，其中$len(p)$表示数字$p$在十进制下的长度（以下的位均代表十进制位）。

令$f[i]$表示数字$x$在模意义下前$i$位的值，令$F[i]$表示数字$x$在模意义下后$n-i+1$位的值。

同理，我们处理出$g[i]$和$G[i]$。

令$mi[i]$表示模意义下$10^i$的值，$Mi[i]$表示模意义下$10^(n-i+1)$的值。

 

令$ans[i][j][k]$表示第一个数字的第$i$位为$j$，第二个数字的第$i$位为$k$时的答案。

设第一个数字第$i$位为$j$的数字个数为$mul1$，第二个数字第$i$位为$k$的个数为$mul2$。

下面考虑如何求$mul1$，设$x[i]$为数字$x$的第i位，$num[i]$为数字$x$前$i$位构成的数，$Num[i]$为数字$x$后$i$位构成的数。

当$x[i]<j$时，$mul1=(f[i-1]+1) imes Mi[i+1]$，这里可以理解为前$i$位填一个数不大于$num[i-1]$的数，或者全填$0$，后$n-i$个数随便填的方案数。

当$x[i]==j$时，$mul1=f[i-1] imes Mi[i+1]+F[i+1]+1$ ，这里可以理解为前$i$位填一个小于$num[i-1]$的数，后$n-i$个数随便填的方案数，加上前$i$个数和$x$的前i个数相同，后n-i个数填写不大于F[i+1]的方案数。

当x[i]>j时，$mul1=f[i-1] imes Mi[i+1]$，这里可以理解为前$i$位填一个小于$num[i-1]$的数,后$n-i$位随便填的方案数。

求$mul2$同理

那么显然，$ans[i][j][k]=mul1 imes mul2$。$solve(x,y)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=0}^{9}sum_{k=0}^{9}ans[i][j][k]$。

 

最终的答案为$solve(B,B)-2solve(A-1,B)+solve(A-1,A-1)$。考虑到$A$跟$B$的位数可能很大，这个减法需要用高精度。

完结撒花，注意细节。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define MOD 1000000007
 3 #define M 100005
 4 #define LL long long
 5 using namespace std;
 6 char c[M]={0};
 7 struct bign{
 8     LL a[M+1],len; bign(){memset(a,0,sizeof(a));}
 9     void rd(){
10         scanf("%s",c); len=strlen(c);
11         for(LL i=0;i<len;i++) a[M-i]=c[len-i-1]-‘0‘;
12     }
13     void jian(){
14         for(LL i=M,g=1;i&&g;i--){
15             LL s=a[i]-g;
16             if(s>=0) a[i]=s,g=0;
17             else a[i]=s+10,g=1;
18         }
19         for(LL i=0;i<=M;i++)
20         if(a[i]!=0){
21             len=M-i+1;
22             return;
23         }
24     }
25 }A,B,L,R;
26 LL f[M]={0},g[M]={0},F[M]={0},G[M]={0},mi[M]={0},Mi[M]={0},a[M]={0},b[M]={0},n;
27 
28 LL solve(){
29     n=max(A.len,B.len); LL res=0;
30     mi[0]=1; for(LL i=1;i<=n;i++) mi[i]=mi[i-1]*10%MOD;
31     F[n+1]=G[n+1]=0;
32     for(LL i=1;i<=n;i++) a[i]=A.a[M-n+i],b[i]=B.a[M-n+i];
33     for(LL i=1;i<=n;i++) f[i]=(f[i-1]*10+a[i])%MOD,g[i]=(g[i-1]*10+b[i])%MOD;
34     for(LL i=n;i;i--) F[i]=(F[i+1]+a[i]*mi[n-i])%MOD,G[i]=(G[i+1]+b[i]*mi[n-i])%MOD;
35     Mi[n+1]=1; for(LL i=n;i;i--) Mi[i]=Mi[i+1]*10%MOD;
36     
37     for(LL i=1;i<=n;i++){
38         for(LL num1=0;num1<10;num1++)
39         for(LL num2=0;num2<10;num2++){
40             LL cha=abs(num1-num2),mul1=0,mul2=0;
41             if(num1<a[i]) mul1=(f[i-1]+1)*mi[n-i]%MOD;
42             if(num1==a[i]) mul1=(f[i-1]*Mi[i+1]%MOD+F[i+1]+1)%MOD;
43             if(num1>a[i]) mul1=f[i-1]*Mi[i+1]%MOD;
44             
45             if(num2<b[i]) mul2=(g[i-1]+1)*mi[n-i]%MOD;
46             if(num2==b[i]) mul2=(g[i-1]*Mi[i+1]%MOD+G[i+1]+1)%MOD;
47             if(num2>b[i]) mul2=g[i-1]*Mi[i+1]%MOD;
48         
49             res=(res+mul1*mul2%MOD*cha)%MOD;
50         }
51     }
52     return res;
53 }
54 
55 int main(){
56     L.rd(); R.rd();
57     LL ans=0;
58     A=R; B=R;
59     ans=solve();
60     A=L; A.jian();
61     ans=(ans-2*solve()+2*MOD)%MOD;
62     B=L; B.jian();
63     ans=(ans+solve())%MOD;
64     cout<<ans<<endl;
65 }