数据结构(C语言版)严蔚敏-＞用栈求解表达式(中缀表达式后缀表达式)

Posted 2023-03-06 坚持不懈的大白

通常我们看到的表达式应该都属于中缀表达式，比如这个中缀表达式：
((15/(7-(1+1)))3)-(2+(1+1))
但是在计算机中如果要计算这个表达式的值，却不是按照这个表达式来计算的，其中需要涉及到另外一种表达式，也就是所谓的后缀表达式（也称为逆波兰式），比如上述那个中缀表达式对应的后缀表达式为：
15 7 1 1 + - / 3 * 2 1 1 + + -

1. 后缀表达式的手算方法

1. 确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序（运算顺序不唯一）
2. 选择下一个运算符，按照【左操作数 右操作数 运算符】的方式结合成一个新的操作数
3. 如果还有运算符没有被处理，就继续2步操作

【注】：因为第1步中运算符的运算顺序不唯一，因此最后得到的后缀表达式也不是唯一的，为了确定后缀表达式的唯一性，通常使用“左优先”的原则，即
只要左边的运算符能先计算，就优先计算左边的运算符。

如上述中缀表达式转换成后缀表达式的步骤如下：

1. 按照“左优先”原则确定中缀表达式各个运算符的运算顺序
   如下：
   
2. 按照第2步和第3步依次进行即可，如下：

1                  1 1 +
2                  7 1 1 + -
3                  15 7 1 1 + - /
4                  15 7 1 1 + - / 3 *
5                  1 1 +  
6                  2  1 1 + +
7                  15 7 1 1 + - / 3 * 2  1 1 + + -

2. 后缀表达式的机算实现

这个过程中需要用到栈，进行如下操作：
初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算符顺序的运算符，从左到右处理各个元素，直到末尾可能遇到如下3中情况：
1. 遇到操作数，直接加入到后缀表达式中；
2.遇到界限符，遇到“（”直接入栈；遇到“）”则依次弹出栈内运算符并加入到后缀表达式，直到弹出“（”为止。注意：“（”不需要加入到后缀表达式中；
3. 遇到运算符，依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入到后缀表达式中，若碰到“（”或栈为空则停止。之后再把当前运算符入栈。

按照上述规则，可以得到 15 7 1 1 + - / 3 * 2 1 1 + + ，此时栈中还有一个 - 号没有添加到后缀表达式中，因此还需要对栈进行空栈判断，然后再出栈将相应运算符加入到后缀表达式中。(小编不知道怎么搞动画进行描述，所以只能自己做个草图哈，读者也可以自己试试)

3. 后缀表达式实现的参考代码

这个代码我写在博客园里，文章链接为：数据结构(C语言版)严蔚敏-＞链栈的定义、利用链栈将中缀表达式转换成后缀表达式

4. 中缀表达式的计算

1. 需要用到两个栈（这里不讲用后缀表达式，如果直接使用后缀表达式，直接一个栈即可，如下），操作数栈和运算符栈；
   
2. 若扫描到操作数，压入操作数栈中；
3. 若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同逻辑压入运算符（期间也会弹出运算符，每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈顶元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈）