如何用求次长边——POJ 3255 题解

Posted 2021-01-15 lixiao189

题目大意

给你一个 (n) 个点，(m) 条边的无向图，求出这个无向图中从1到n的次短路。其中(n le 5000)，(m le 100000)。

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POJ 3255

思路

其实求次长路是很简单的一个问题，但是网上却有很多算法都过于复杂了。首先我们先求出从1到每个结点的最短路长度（用Dijkstra或者是SPFA都可以）,存入数组 (dis1) 中，然后再求出从结点 (n) 到任意结点的最短路的长度，存入数组 (dis2) 中。
然后我们枚举这个图中的所有边 ((u, v)) 然后我们设 (D = dis1[u] + w(u,v) + dis2[v])（(w(u,v))为 (u) 到 (v) 的长度）。 然后我们判断一下假如 (D) 的值不等于从 (1) 到 (n) 的最短路长度，就用这个 (D) 去更新答案。

理由

因为次短路中一定至少有一条边与最短路中不一样，所以我们可以枚举一条边，强制从 (1) 到 (n) 的时候一定要经过这条边，然后再用这样的最短路去更新答案。有的时候枚举的这条边恰好在最短路上（最短路不只一条），那么我们如何判断呢？假如枚举到边 ((u,v)) 那么假如 (dis1[u] + w(u,v) + dis2[v] = dis1[n])，就说明这条边在最短路上。然后假如这个边不在最短路上，那么一定要通过这个边从 (1) 到达 (n) 的最短路的长度就是 (dis1[u] + w(u,v) + dis2[v])，然后我们用这个东西去更新答案，那么得到的一定至少一条边不在最短路上的最短路，因为一个图中除了最短路，其余的路都不比最短路长，所以我们这样找到的一定是除了最短路以外的最短的边，即次短路。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 5e3 + 5;
const int M = 2e5 + 5;

int n, m;
int u, v, w;
int cnt = 0;
int head[N];
int dis1[N];
int dis2[N];

struct EDGE {
    int s;
    int e;
    int w;
    int nxt;
} Edge[M];

void add(int u, int v, int w) {
    ++cnt;
    Edge[cnt].s = u;
    Edge[cnt].e = v;
    Edge[cnt].w = w;
    Edge[cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt;
}

int read() {
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-') w = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <='9') {
        s = s * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return s * w;
}

void write(int x) {
    if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if (x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

void Spfa1(int x) {
    queue<int> q;
    q.push(x);
    memset(dis1, 0x3f, sizeof(dis1)); //初始化dis1
    dis1[x] = 0;
    while (!q.empty()) {
        int now = q.front(); q.pop();
        for (register int i = head[now]; i; i = Edge[i].nxt) {
            if (dis1[Edge[i].e] > dis1[now] + Edge[i].w) {
                dis1[Edge[i].e] = dis1[now] + Edge[i].w;
                q.push(Edge[i].e);
            }
        }
    }
}

void Spfa2(int x) {
    queue<int> q;
    q.push(x);
    memset(dis2, 0x3f, sizeof(dis2)); //初始化dis1
    dis2[x] = 0;
    while (!q.empty()) {
        int now = q.front(); q.pop();
        for (register int i = head[now]; i; i = Edge[i].nxt) {
            if (dis2[Edge[i].e] > dis2[now] + Edge[i].w) {
                dis2[Edge[i].e] = dis2[now] + Edge[i].w;
                q.push(Edge[i].e);
            }
        }
    }
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
    n = read(), m = read();
    for (register int i = 1; i <= m; ++i) {
        u = read(), v = read(), w = read();
        add(u, v, w);
        add(v, u, w); //添加双向边
    }
    Spfa1(1);
    Spfa2(n);
    int ans = 0x3f3f3f3f;
    for (register int i = 1; i <= cnt; ++i) {
        int dis_tmp = dis1[Edge[i].s] + Edge[i].w + dis2[Edge[i].e];
        if (dis_tmp != dis1[n] && dis_tmp < ans) ans = dis_tmp;
    }
    write(ans);
    return 0;
}