Algs4-1.1.27二项分布

Posted 2021-01-15 longjin2018

 1.1.27二项分布。估计用以下代码计算binomial(100,50,0.25)将会产生的递归调用次数：
public static double binomial(int N,int k,double p)
{
    if (N==0 && k==0) return 1.0;
    if (N<0 || k<0) return 0.0;
    return (1.0-p)*binomial(N-1,k,p)+p*binomial(N-1,k-1,p);
}
将已经计算过的值保存在数组中并给出一个更好的实现。
答：
1）递归调用次数公式为：

本题的调用次数为将N=100,k=50代入上式。

解题过程如下，解题过程并非如下列描述如此顺利。

依据上面代码得到递归式：T(N,k)=T(N -1,k)+T(N -1,k-1)

依此递归式可以看出是一棵二叉树，求递归调用的次数等同于求这棵二叉树的节点个数。

通过代码可以看出树的最大深度为N +1,对于一棵高度为N +1的满二叉树，其节点总个数为2 ^{N +1+1}-1=2 ^{N +2}-1，所以得递归调用的次数的上界为2 ^N+2-1。

     由于k的取值范围为0<=k<=N,不同的k值对这棵二叉树的节点数也有影响,影响到底有多大？先按递归式画出下图满二叉树： 

观察上图，将节点中第二个参数值为k、k-1、k-2、k-3…的个数统计，得出下面的表格数据:

层次	k	k-1	k-2	k-3	k-4
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1

 

观察以上表格发现除第一列外，每个单元格中的值=其上一行同列单元格的值+其上一行同列的左边列的值，而这一特性与帕斯卡三角形具有相同性质,各单元格的值也符合二项式公式C(N,k)。

上表中K-X=-1开始至K-N-1的列中的所有单元格值的和即为不存在的节点。所以总的节点个数为满二叉树的节点个数减去上述个数，得以下公式：

 
2)将已计算的值存数组的实现方式：
public class Test
{
    public static void main(String[] args)
    {
         int N=Integer.parseInt(args[0]);
         int k=Integer.parseInt(args[1]);
         double p=Double.parseDouble(args[2]);
         double[][] b=new double[N+1][k+1];
         //
         b[0][0]=1;
         //
         for(int i=1;i<N+1;i++)
             b[i][0]=b[i-1][0]*(1-p);
         //
         for(int i=1;i<N+1;i++)
             for(int j=1;j<i+1 &&  j<k+1;j++)
                 b[i][j]=b[i-1][j]*(1-p)+b[i-1][j-1]*p;
         StdOut.println(b[N][k]);
    }
}

参考资料：
《离散数学及其应用》原书第7版中文版ISBN:9787111453826
《组合数学》原书第二版中文版ISBN:9787111377870