「LibreOJ Round #6」花火

Posted dreamlessdreams

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了「LibreOJ Round #6」花火相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

转化思维的好题!

链接:here

大致题意:

有$ n$个数字,你每次可以交换相邻两个,还有一次交换任意两个元素的机会,求最少的交换次数使得这些数字升序排序(原数列两两不同)

$ solotion:$

首先有一个结论:交换任意两个元素可以选择在第一次交换,且一定不会劣

证明:假设不在第一次交换,可以通过倒推这次交换的贡献,使得这次机会平移到第一次交换,结果不变

第二个结论:交换相邻两个元素的次数等于逆序对数

证明:略

第三个结论:交换两个元素$ x,y$,所能够减少的逆序对数量等价于把每个数$ a_i$对应到坐标$ (i,a_i)$之后矩形{$(x,a_x),(y,a_y)$}中的点数$ *2+1$(不包含边界)

证明:在矩形内的每个点,原先会贡献$ 2$的逆序对,交换后将不再产生这样的贡献。$ +1$是因为交换本身会减少一个逆序对

也就是说我们实际要求的等价于找到一个矩形(两个角都在点上),使得矩形内点尽量多

这并不容易直接处理,考虑转化题意

选择的矩形两个角$(x,a_x),(y,a_y)$有性质如下:$(x<y)$

$ 1.a_x>a_y$ 证明:否则会增加逆序对数量,肯定不优

$ 2.a_x$是前缀最大值,$ a_y$是后缀最小值

证明:如果$ a_x$不是前缀最大值,一定有一个点$ (k,a_k)$在$ (x,a_x)$的左上方,这样的矩形能够完全包含矩形{$(x,a_x),(y,a_y)$}使得$ (x,a_x)$不可能成为最优,后缀最小值同理。

这样我们获得了一个前缀最大值数组$ S$,一个后缀最小值数组$ T$,我们对于每个点,计算哪些矩形能够包含这个点

显然包含这个点的矩形左端点要在这个点的左上方,右端点在这个点的右下方,可以通过两次二分得到包含这个点的两段数组区间

我们用$ (x,y)$表示左端点是前缀最大值第$ x$个,右端点是后缀最小值第$ y$个的矩形,可以发现能包含这个点的矩形用坐标表示后也是一个矩形

然后就把题意转化成有若干个矩形,求一个被最多矩形覆盖的位置 扫描线+线段树维护即可

时间复杂度:$ O(n log n)$

code:

#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define file(x)freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout)
#define rt register int
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll x = 0; char zf = 1; char ch = getchar();
    while (ch != - && !isdigit(ch)) ch = getchar();
    if (ch == -) zf = -1, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - 0, ch = getchar(); return x * zf;
}
void write(ll y){if(y<0)putchar(-),y=-y;if(y>9)write(y/10);putchar(y%10+48);}
void writeln(const ll y){write(y);putchar(
);}
int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt;
int a[300010],c[300010];
void up(int x){
    for(rt i=x;i<=n;i+=i&-i)c[i]++;
}
int query(int x){
    int ans=0;
    for(rt i=x;i;i&=i-1)ans+=c[i];
    return ans;
}
int sta[300010],top;
int L1[300010],R1[300010],L2[300010],R2[300010];
struct query{
    int id,x,L,R;
    bool operator <(const query s)const{
        if(x==s.x)return id<s.id;
        return x<s.x;
    }
}q[600010];
struct segment{
    int L,R,Max,tag;
}t[300010*4];
void build(int x,int L,int R){
    t[x].L=L;t[x].R=R;if(L==R)return;
    const int mid=L+R>>1;
    build(x<<1,L,mid);build(x<<1|1,mid+1,R);
}
void change(int x,int L,int R,int val){
    if(t[x].L>=L&&t[x].R<=R){
        t[x].tag+=val;
        t[x].Max+=val;
        return;
    }
    const int mid=t[x].L+t[x].R>>1;
    if(mid>=L)change(x<<1,L,R,val);
    if(mid+1<=R)change(x<<1|1,L,R,val);
    t[x].Max=max(t[x<<1].Max,t[x<<1|1].Max)+t[x].tag;
}
int main(){
    n=read();ll ret=(ll)n*(n-1)/2;
    for(rt i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(rt i=1;i<=n;i++){
        ret-=query(a[i]-1);
        up(a[i]);
    }//ret计算初始逆序对数量 
    for(rt i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]>sta[top]||!top)sta[++top]=a[i];    
        int pla=lower_bound(sta+1,sta+top+1,a[i])-sta;
        L1[i]=pla;L2[i]=top;
    }top=0;
    memset(sta,0,sizeof(sta));
    for(rt i=n;i>=1;i--){
        if(-a[i]>sta[top]||!top)sta[++top]=-a[i];
        int pla=lower_bound(sta+1,sta+top+1,-a[i])-sta;
        R1[i]=pla;R2[i]=top;
    }//L1 L2 R1 R2表示包含第i个点的合法矩形的范围 
    for(rt i=1;i<=n;i++){
        q[2*i-1]={1,L1[i],R1[i],R2[i]};
        q[2*i]={-1,L2[i]+1,R1[i],R2[i]};
    }
    sort(q+1,q+2*n+1);int ttt=2;
    build(1,1,top);
    for(rt i=1;i<=2*n;i++){
        change(1,q[i].L,q[i].R,q[i].id);
        ttt=max(ttt,t[1].Max);
    }
    cout<<ret-(ttt-2)*2;
    return 0;
}

 

以上是关于「LibreOJ Round #6」花火的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

loj536「LibreOJ Round #6」花札(二分图博弈)

LibreOJ「LibreOJ β Round #4」 游戏

LibreOJ #526. 「LibreOJ β Round #4」子集

LibreOJ #525. 「LibreOJ β Round #4」多项式

LibreOJ #528. 「LibreOJ β Round #4」求和

LibreOJ #517. 「LibreOJ β Round #2」计算几何瞎暴力