差分约束系统

Posted 2021-01-14 utopia999

概述

差分约束系统用于解决：给定一些不等式，不等式(i)形如(x_{u_i}le x_{v_i}+k_i)，求是否有解。

考虑最短路问题，若最短路问题有解，则最后的dis数组对于所有相邻的u、v满足(dis[v]le dis[u]+w_{u ightarrow v})。这个可以与不等式的条件做类比。因此对于不等式(x_{u_i}le x_{v_i}+k_i)，连边(u_i ightarrow v_i(k_i))，则不等式组有解等价于存在从某一点到所有点的最短路。

最短路问题有解等价于不存在负环。用SPFA判断即可。

最大化差

求满足不等式组的前提下，(x_n-x_1)的最大值。

建图后，以1为起点跑SPFA。可以证明答案即为dis[n]。

最小化差

求满足不等式组的前提下，(x_n-x_1)的最小值。

答案为1到n的最长路。

求最长路改一下SPFA的松弛条件即可。