三角函数略解（待更新）

Posted 2021-01-14 yzhang-rp-inf

LaTeX莫名出锅请见谅

〇.背景

学信竞的改行学数竞？没有的操作qaq

作为初中生的窝，教材中只要求被20个英文单词qaq

所以学习信竞的我决定给同学们粗略讲解一下三角函数，以备计算几何用到

一.一些基础定义

1.角的定义（和初中的完全不一样）

对于任何一个∠AOB，可以看做是由边OB从OA的位置开始，绕O点旋转而成。

逆时针转是正角，顺时针转是负角。

一般把始边放在x轴上（平面直角坐标系应该都学了吧），终边落在哪一象限，就叫某一个象限的角。（始边相当于OA，终边相当于OB）

2.弧度制

在高中之前，都用的是$n^{circ}$

但在高中要学会一种新的制度——弧度制

定义比较长，蒟蒻看不懂

弧度Rad，一弧度等于$180^{circ}$

附常用角度和弧度的换算

度	$0^{circ}$	$15^{circ}$	$30^{circ}$	$45^{circ}$	$60^{circ}$	$90^{circ}$	$180^{circ}$
弧度	0	$frac{pi}{12}$	$frac{pi}{6}$	$frac{pi}{4}$	$frac{pi}{3}$	$frac{pi}{2}$	$pi$

看到弧度时可自行换算

二.基础的三角函数

一共只有六个三角函数（因为窝太弱，反三角函数就不介绍了qaq）

图（通用）

1.正弦

$sin ∠A$,当∠A是独立角时，可以简写为$sin A$,后五个三角函数同理

$sin A=frac{a}{c}$

2.余弦

$cos A=frac{b}{c}$

3.正切

$ an A=frac{a}{b}$

4.余切

$cot A=frac{b}{a}$

5.正割

$sec A=frac{c}{b}$

6余割

$csc A=frac{c}{a}$

7.常用特殊角的三角函数

$n^{circ}$	$0^{circ}$	$30^{circ}$	$45^{circ}$	$60^{circ}$	$90^{circ}$	$180^{circ}$	$270^{circ}$	$360^{circ}$
$x$	$0$	$frac{pi}{6}$	$frac{pi}{4}$	$frac{pi}{3}$	$frac{pi}{2}$	$pi$	$frac{3pi}{2}$	$2pi$
$sin alpha$	$0$	$frac{1}{2}$	$frac{sqrt2}{2}$	$frac{sqrt3}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$cos alpha$	$0$	$frac{sqrt3}{2}$	$frac{sqrt2}{2}$	$frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$ an alpha$	$0$	$frac{sqrt3}{3}$	$1$	$sqrt3$	不存在	$0$	不存在	$0$
$cot alpha$	不存在	$sqrt3$	$1$	$frac{sqrt3}{3}$	$0$	不存在	$0$	不存在

$sec alpha=frac{1}{cos alpha}$

$csc alpha=frac{1}{sin alpha}$

三.三角函数基础计算

这里的都是常用基本关系，都可以结合图形推出

1.$sin alphacsc alpha=1$

2.$cos alphasec alpha$

3.$ an alphacot alpha=1$

4.$sin^2 alpha+cos^2 alpha=1$

5.$sec^2 alpha- an^2 alpha=1$

6.$csc^2 alpha-cot^2 alpha=1$

7.$ an alpha=frac{sin alpha}{cos alpha}$

8.$sin alpha=sin(180^{circ}-alpha)$

9.$cos alpha=-cos(180^{circ}-alpha)$

在证明三角恒等式时，可以把一个式子变成另一个式子，也可以把两式变成另一个相同的式子

三角函数的周期性

除了正切和余切的周期是$pi$，其他的三角函数的周期是$2pi$

注：cot，csc，sec不在高考范围内下文就咕咕咕了（对不起我现在不是为了高考qaq）（主要还是我太菜了）

四.两角和，差的三角函数与倍角，半角的三角函数

1.和角公式

$sin (alpha+eta)=sinalphacoseta+cosalphasineta$

$cos (alpha+eta)=cosalphacoseta-sinalphasineta$

$ an (alpha+eta)=frac{ analpha- aneta}{1+ analpha aneta}$(上述两式相除而得)