test20181020 B君的第一题

Posted 2021-01-14 autoint

题意

分析

二次剩余问题。

x,y相当于二次方程
[ x^2-bx+c=0 mod{p} ]
的两根。

摸意义下的二次方程仍然考虑判别式(Delta=b^2-4c)。

它能开根的条件是(Delta=0)或(Delta^{frac{p-1}{2}}=1)

若能开根，则根为(Delta^{frac{p+1}{4}})

然后就是普通的解一元二次方程了。

代码

#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<complex>
#include<cassert>
#define rg register
#define il inline
#define co const
#pragma GCC optimize ("O0")
using namespace std;
template<class T> il T read()
{
    T data=0;
    int w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch==‘-‘)
            w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
        data=10*data+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T> il T read(T&x)
{
    return x=read<T>();
}
typedef long long ll;
const int INF=0x7fffffff;

const int mod=1e9+7;

int qpow(int x,int k)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            res=(ll)res*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod,k>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
  freopen("lanzhou.in","r",stdin);
  freopen("lanzhou.out","w",stdout);
    int T;
    read(T);
    while(T--)
    {
        int b=read<int>(),c=read<int>();
        int d=((ll)b*b-(ll)4*c)%mod;
        if(d<0)
        {
            d+=mod;
        }
//      cerr<<"d="<<d<<endl;
        if(d!=0&&qpow(d,(mod-1)/2)!=1)
        {
            puts("-1 -1");
        }
        else
        {
            int r=qpow(d,(mod+1)/4);
            assert((ll)r*r%mod==d);
            int x=(ll)(b+r)*qpow(2,mod-2)%mod;
            int y=(ll)(b-r)*qpow(2,mod-2)%mod;
            if(x<0)
            {
                x+=mod;
            }
            if(y<0)
            {
                y+=mod;
            }
            if(x>y)
            {
                swap(x,y);
            }
            printf("%d %d
",x,y);
            assert(x<=y&&(x+y)%mod==b&&(ll)x*y%mod==c);
        }
    }
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);
    return 0;
}