软考--原码，反码，补码

Posted 2021-01-14 xiaobaobei

　　最近在准备软考的软件设计师考试，有很多之前比较基础软件工程的知识和计算机基础的知识，昨天做真题的时候就遇到一题，

　　题目如下：　

　　　　如果“2X”的补码是“90H”，那么X的真值是（ ）

　　　　A.72      B.-56      C.56     D.111

 

　　题目中涉及到好几个概念，先大致理解下

　　一、原码，补码，反码

　　首先，一个数在机器中是以二进制形式表示的，也可叫做机器数，它是带有符号的，最高位存放符号，正数为0，复数为1。

　　真值，因为机器数带有符号，所以它的形式值并不等于它的真正的值，所以为了区别，机器数正真的数值叫真值。

　　例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

　　原码

　　原码就是符号位加上真值的绝对值，即第一位表示符号，其余的表示值

　　

[+1]_原 = 0000 0001

[-1]_原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

　　

　　反码

　　反码的表示方法是:

　　正数的反码是其本身

　　负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反

　　可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

　　补码

　　补码的表示方法是:

　　正数的补码就是其本身

　　负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

　　对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

 

　　为何要使用原码, 反码和补码

　　在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

　　现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

　　所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

　　可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

　　首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 　　要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

　　于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_原 + [10000001]_原 = [10000010]_原 = -2

　　如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

　　为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

　　计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0

　　发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]_原和[1000 0000]_原两个编码表示0.

　　于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_补 + [1111 1111]_补 = [0000 0000]_补=[0000 0000]_原

　　这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_补 + [1000 0001]_补 = [1000 0000]_补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]_补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]_原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-2³¹, 2³¹-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值