信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第一次作业

Posted 2023-03-05 卓晴

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01 基础练习

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  作业包含有六道大题。请注意，每道题目中包含有必做题和选做题。必做题要求包含在提交的作业中；选做题仅用于思考和练习。

一、绘制信号波形

  请根据下面信号的函数表达式，绘制出信号的波形。请注意：

• 函数变量为 $t$ 的信号为 连续时间信号； ; 函数变量为 $n$ 的信号为 离散时间信号 。 离散时间信号波形使用“火柴棒” 样式绘制序列波形。
• 题目中包括有 奇异函数 $u\left(t\right),\delta \left(t\right)$ 等。

  绘制波形可以手工绘制，也可以通过MATLAB ，Python以及其他编程绘图语言绘制。绘制时请注意以下关键信息：

• 坐标系、坐标轴； 变量名称、函数名称，单位；
• 关键点处的函数值；标题、注解等；
• 能够反映信号变化趋势的包络线与渐近线；

1、必做题

  （1） 单边指数信号

  （2） 升余弦信号

所谓升余弦脉冲信号，就是把余弦振荡信号叠加一个直流信号，使得它整体网上平移，最低点为 0。然后再截取其中 一个周期内的波形作为脉冲信号的波形。

  （3） 正弦调制的高斯信号

  （4）复合信号

  （5）衰减振荡序列

  （6）双边sinc函数序列

  （7）窗口序列

  其中： $N=8$

2、选做题

  （1） 电容放电信号波形

  在下面阻容放电回路中， 电容C1、电阻R1的标称值在电路中已经标明。 在时间 $t=0$ 时，电容的初始电压为 1V。 请绘制出在 $t\ge 0$ 之后，电阻 R1 上的电压 $U_O\left(t\right)$ 的信号波形。

▲ 图A2.1.1 电容放电电路

  提示：

• 电容C1 在电阻 R1 上放电电压信号呈现指数衰减特性， 对应的函数表达方式为： $$U\left(t\right)=U_0\cdot e^{\frac{-t}{R_1{C}_1}}$$ 其中 $U_0$ 是放电电容初始电压；
• 在绘制信号波形的时候， 请按照实际的物理信号标注好波形坐标的名称、单位以及一些关键点的信息。

  （2） sinc函数成绩信号

  其中： $\sin c\left(t\right)=\sin \left(t\right)/t$ 。

关于为什么研究多个sinc函数相乘，大家可以参见博文： 数学中的虚幻模式 。这是一个复杂的波形，建议使用计算机辅助绘制该函数波形。

  （3）震荡序列信号

注意：序列函数中的自变量是 $n$ 的平方。请观察序列，并判断该序列是否为周期序列信号？

  （4） 具有无限多个极大值极小值的有限长信号

这个函数具有无穷多个极大值，极小值。在博文 傅里叶变换中的狄利克雷条件 分析了它的傅里叶变换的特点。

  （5）波形发散的周期信号

提示：这个周期信号将来会在傅里叶变换的狄利克雷条件中分析。在博文 傅里叶变换中的狄利克雷条件 分析了它的傅里叶变换的特点。也请大家思考一下，这个函数在单个周期内：

• 面积是否有限？
• 能量是否有限？

二、写出信号函数表达式

  根据下面信号的波形，写出对应的函数表达式。注意，同样一个波形可能会存在多种等效的函数表达式。

1、必做题

  （1）三角信号

▲ 图1.2.1 三角信号

  （2）分段阶跃信号

▲ 图1.2.2 分段阶跃信号

  （3）左边正弦信号

▲ 图1.2.3 左边正弦信号

注意：在 $t>0$ 时，对应的 $f\left(t\right)=0$ 。信号波形往左无限延拓。

  （4）单边指数衰减振荡信号

▲ 图1.2.5 单边指数衰减振荡信号

2、选做题

  （1） 周期方波信号

▲ 图1.2.6 周期方波信号

提示：参考前面绘制信号波形中的“复合函数”，以及应用 $u\left(t\right)$ 的特点。

  （2） 阶跃衰减信号

  下面是一个阶跃衰减信号，它：

• 只在 $\left(0,1\right)$ 之间取值；
• 起始值 $f\left(0\right)=1$ ，终值 $f\left(t\right)=0,t\ge 1$ ；
• 从0到1过程中，每前进剩余距离一半幅值就降低一半。

▲ 图1.2.7 阶跃衰减信号

这个函数将会在第三章，在分析傅里叶变换的狄利克雷条件时被被提到。在。在博文 傅里叶变换中的狄利克雷条件 分析了它的傅里叶变换的特点。

◎ 作业参考答案： 第二小题参考答案

三、判断信号的周期性

1、必做题

  （1） 正弦信号叠加

  （2） 复指数调制信号

  （3） 方波信号

  （4） 正弦信号三次方

  （5） 自变量三次方正弦信号

  （6）自变量三次方的正弦波序列

请对比离散时间信号与前面连续时间信号的异同

2、选做题

  （1） 斜边信号与振荡信号的叠加

  （2）判断题

• 非周期信号与周期信号叠加一定是周期信号。（ √， × ）
• 周期信号与周期信号叠加一定是周期信号。（ √， × ）

  （3）判断题
  已知两个序列之间满足 $y\left[n\right]=x\left[2n\right]$ 。请问：

• 如果 $y\left[n\right]$ 是周期信号，那么 $x\left[n\right]$ 是否也是周期信号？
• 如果 $x\left[n\right]$ 是周期信号，那么 $y\left[n\right]$ 是否 也是周期信号？

四、冲激信号特性

  根据冲激信号 $\delta \left(t\right)$ 、冲激偶信号 ${\delta }^{\prime }\left(t\right)$ 的 抽样特性 ，求下面各个定积分的积分值。

  由于在课堂上先介绍了冲激信号的基本概念：

$$\delta \left(t\right)=\frac{d}{dt}u\left(t\right),{\delta }^{\prime }\left(t\right)=\frac{d}{dt}\delta \left(t\right)$$

  对于它们的抽样特性还没有展开讲解。这一部分请大家对课件【1.1.3.3.2】中关于单位冲激信号的三种定义（函数演变定义、Dirac定义、分配函数定义）进行阅读，基于此理解：

• 单位冲激信号的抽样特性；
• 单位冲激信号的偶对称性；
• 单位冲激信号的尺度特性；

  这些特性可以参考在课件【1.1.3.3.3】中总结的性质一览表：

▲ 图1.4.1 冲激信号与冲激偶信号特性表格

1、必做题

  （1）

提示：请注意积分里面的 $\delta \left(t/2\right)$ ，这需要应用到冲激信号的尺度特性。

  （2）

  （3）

注意：请分别讨论 $t_0$ 分别在大于0和小于0两者情况下的积分结果。

2、选做题

  （1）

  （2）

  （3）

 

02 实验内容

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  下面两个实验题目都是选做题目，可以任选其中一个进行实验，来认知关于信号表达方式与信息传递之间的关系，并对MATLAB，PYTHON中用于信号处理的软件包进行初步的了解。

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