温故而知新, 哈夫曼树(Huffman tree)

Posted 2021-01-14 printk

哈夫曼树定义：在一棵二叉树中，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称哈夫曼树。

如何构建哈夫曼树：

一般可以按如下步骤构建：

假设有n个权值W1,W2,...,Wn，将这些权值看成是有n棵树的森林（每棵树仅有一个节点），

则哈夫曼树的构造规则为：

1，在森林中选出2个根节点的权值最小的树合并为一棵新树，作为左右子树，且新树的根节点权值为其左右子树根节点权值之和。

 

2，从森林中删除这两棵树，同时把新树加入到森林中。

 

3，重复1，2步骤，直到森林中只有一棵树为止，此树就是哈夫曼树。

 

哈夫曼树构造过程是一个递归过程，证明此构造过程出来的树一定是最优树。

那么我们只要证明：一棵最优二叉树，删除权值最小的两个叶节点（必须有共同父节点），同时父节点

的权值记为刚刚删除的2个子节点的权值之和，则新生成的树也是最优二叉树。

假定初始最优二叉树为T，权值为W(T)，合并掉T的2个叶节点a，b生成c节点，a和b的权值分别记为W(a), W(b)，

记新树为T‘(包含c节点)，记树的权值为W(T‘)，则W(T)=W(T‘)+W(a)+W(b)，现在证明T‘也是一颗最优二叉树，

假定T‘不是最优二叉树，则有T*(包含c节点)为最优二叉树，且W(T*)<W(T‘)，因为T*包含c，

把c拆分成权值分别为W(a)，W(b)的a和b，形成新树T^，那么W(T^)=W(T*)+W(a)+W(b)，

那么W(T^)<W(T‘)+W(a)+W(b)，最终W(T^)<W(T)，这跟T是最优二叉树矛盾，所以反过来说明T‘是最优二叉树。得证。