LCASP913Qtree - Query on a tree II

Posted 2021-01-14 -guz

Description

给定一棵n个点的树，边具有边权。要求作以下操作：

DIST a b 询问点a至点b路径上的边权之和

KTH a b k 询问点a至点b有向路径上的第k个点的编号

有多组测试数据，每组数据以DONE结尾。

Input

第一组数据包含一个整数(T)，代表有(T)组测试数据。(1leq T leq 25)

对每一组测试数据：

• 第一行一个整数(N(n leq 10000))
• 接下来有(N-1)行,每一行描述树上的一条边(a,b,c( cleq 100000))
• 接下来几行操作包括(DIST a b),(KTH a b k)
• 以(DONE)结尾

Output

对于每一个(DIST)和(KTH)询问输出一行.

很明显,LCA,但是难点就在于如何求出(KTH)对于的答案.

首先会存在两种情况

一. (k leq depth[a]-depth[lca_{x,y}]+1)

很明显,这时第(k)个点必然在于(x->lca_{x,y})的路径上,我们只需要知道其深度即可倍增求取.

可求其深度为(depth[a]-k+1)

二. (k > depth[a]-depth[lca_{x,y}]+1)

这时,第(k)个点必然存在于(y->lca_{x,y})的路径上,但是如何求其深度却是一个问题.

先设(ans)为第(k)个点的深度.

我们可以得到的信息是(k)必须要在(y->lca_{x,y})，

所以新的深度至少必须为(k-(depth[x]-depth[lca_{x,y}]+1))

但是由于我们的(lca_{x,y})不一定为(1)(这里我以(1)为根)

所以原式子还需要加上一个(depth[lca_{x,y}])。

因此可以得到这样一个式子
[ ans=k-depth[x]+2*depth[lca_{x,y}]-1; ]
知道深度之后,直接倍增跳即可.

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define clear(a) memset(a,0,sizeof a)
#define N 10008
#define R register
using namespace std;
inline void in(int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
int T;
int n,head[N],tot;
struct cod{int u,v,w;}edge[N<<2];
inline void add(int x,int y,int z)
{
    edge[++tot].u=head[x];
    edge[tot].v=y;
    edge[tot].w=z;
    head[x]=tot;
}
int depth[N],f[N][21],dis[N];
void dfs(int u,int fa,int dist)
{
    f[u][0]=fa;dis[u]=dis[fa]+dist;depth[u]=depth[fa]+1;
    for(R int i=1;(1<<i)<=depth[u];i++)
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    for(R int i=head[u];i;i=edge[i].u)
    {
        if(edge[i].v==fa)continue;
        dfs(edge[i].v,u,edge[i].w);
    }
}
inline int lca(int x,int y)
{
    if(depth[x]>depth[y])swap(x,y);
    for(R int i=17;i>=0;i--)
        if(depth[x]+(1<<i)<=depth[y])
            y=f[y][i];
    if(x==y)return y;
    for(R int i=17;i>=0;i--)
    {
        if(f[x][i]==f[y][i])continue;
        x=f[x][i],y=f[y][i];
    }
    return f[x][0];
}
char s[108];
inline int query(int x,int y,int k)
{
    R int la=lca(x,y);
    if(depth[x]-depth[la]+1>=k)
    {
        R int ans=depth[x]-k+1;
        for(R int i=17;i>=0;i--)
        {
            if(depth[x]-ans>=(1<<i))
                x=f[x][i];
        }
        return x;
    }
    else
    {
        R int ans=depth[la]*2+k-depth[x]-1;
        for(R int i=17;i>=0;i--)
            if((1<<i)<=depth[y]-ans)
                y=f[y][i];
        return y;
    }
}
int main()
{
    in(T);
    for(;T;T--)
    {
        in(n);
        tot=0;clear(head),clear(dis),clear(f);clear(depth);
        for(R int i=1,x,y,z;i<n;i++)
        {
            in(x),in(y),in(z);
            add(x,y,z);add(y,x,z);
        }
        dfs(1,0,0);
        for(R int x,y,la,k;;)
        {
            scanf("%s",s+1);
            if(s[2]=='O')break;
            if(s[2]=='I')
            {
                in(x),in(y);
                la=lca(x,y);
                printf("%d
",dis[x]+dis[y]-2*dis[la]);
            }
            else
            {
                in(x),in(y),in(k);
                printf("%d
",query(x,y,k));
            }
        }
    }
}