UVA12983 The Battle of Chibi 树状数组+DP

Posted 2021-01-14 bhllx

先容蒟蒻吐槽一波：模数看错调了一两小时。。。

题意：

要你在一个长度为n的序列中找到长度为m的严格上升子序列的个数，然后答案对1e9+7取模。

举个例子：

5 3

1 3 4 2 5

那么符合条件的序列就有: 1 3 4 ，1 2 5， 1 3 5 ，1 4 5， 3 4 5， 答案就是5。

既然和上升子序列有关，那么就是DP了。

注意我这里设的i，j有点不一样，表示的是

前j个数，以a[j]结尾的，严格上升子序列长度为i的方案数。（反过来也OK，只不过待会BIT就得开两维）

容易得到状态转移方程：f[i][j]=sigma (f[i-1][k]), 0<=k<j 且 a[k]<a[j]。

那么的话n³的暴力是很容易打的。

但是如果只是n³题目就没多大意义了。

 

我们考虑优化：

显然对于一个j我们只关心他前面的满足 a[k]<a[j] 的所有的方案数的和。

那么这就可以直接建立一个权值树状数组，（注意到ai<=1e9 离散化即可）

对于每一个数先查询之前的比他小的，统计一下答案。

再把自己的值插入自己的对应的位置就可以了。

可以发现由于我们的 i  是在外层循环，即已经限制了长度， 所以内部更新时i-1不变。

所以只要直接建一维的BIT就好了，不要考虑把长度也记下来，只是每次i++后，清空BIT。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int gi () {
    int x=0,w=0; char ch=0;
    while (!(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘)) {if (ch==‘-‘) w=1; ch=getchar ();}
    while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x= (x<<3)+(x<<1)+(ch^48), ch=getchar ();
    return w?-x:x;
}

#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f;
#define RGI register int
#define lowbit(x) x&-x

const int N=1010;
const int Mod=1e9+7;

LL Ans,BIT[N],f[N][N];
int T,n,m,tot,a[N],b[N];

inline void New_Case () {
    memset (f, 0 ,sizeof (f));
    f[0][0]=1, Ans=0, a[0]=1;  
}

inline void Modify (int x, int val) {
    for (;x<=n;x+=lowbit(x)) BIT[x]=(BIT[x]+val%Mod)%Mod; 
}

inline LL Query (int x) {
    LL sum=0;
    for (;x;x-=lowbit(x)) sum=(sum+BIT[x])%Mod;
    return sum;
}

int main ()
{
    T=gi ();
    for (RGI id=1;id<=T;++id) {
        RGI i,j;
        New_Case ();
        n=gi (), m=gi ();
        for (i=1;i<=n;++i) a[i]=b[i]=gi ();
        sort (b+1, b+n+1);
        for (i=1;i<=n;++i) a[i]=lower_bound (b+1, b+n+1, a[i])-b+1;
        for (i=1;i<=m;++i) {
            memset (BIT, 0, sizeof (BIT));
            Modify (a[0], f[i-1][0]);
            for (j=1;j<=n;++j) {
                f[i][j]=Query (a[j]-1);
                Modify (a[j], f[i-1][j]%Mod);
            }
        }
        for (i=1;i<=n;++i) Ans= (Ans+f[m][i])%Mod;
        printf ("Case #%d: %lld
", id, Ans);
    }
    return 0;
}